Представление числовой информации с помощью систем счисления

Для записи информации о количестве объектов использу­ются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисле­ния. Алфавит систем счисления состоит из символов, кото­рые называются цифрами. Например, в десятичной системе счисления числа записываются с помощью десяти всем хо­рошо известных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Система счисления — это знаковая система, в ко­торой числа записываются по определенным пра­вилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные системы счисления. В пози­ционных системах счисления значение цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных — не зависит.

Римская непозиционная система счисления. Самой рас­пространенной из непозиционных систем счисления являет­ся римская. В качестве цифр в ней используются: I (1), V (5), X (10), L (50), С (100), D (500), М (1000).

Значение цифры не зависит от ее положения в числе. На­пример, в числе XXX (30) цифра X встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину - число 10, три числа по 10 в сумме дают 30.

Величина числа в римской системе счисления определя­ется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа - прибавляется. Например, запись десятичного чис­ла 1998 в римской системе счисления будет выглядеть сле­дующим образом:

MCMXCVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 - 10) + 5 + 1 + 1 +1.

Позиционные системы счисления. Первая позиционная система счисления была придумана еще в Древнем Вавило­не, причем вавилонская нумерация была шестидесятерич­ной, то есть в ней использовалось шестьдесят цифр! Инте­ресно, что до сих пор при измерении времени мы используем основание, равное 60 (в 1 минуте содержится 60 секунд, а в 1 часе — 60 минут).

В XIX веке довольно широкое распространение получи­ла двенадцатеричная система счисления. До сих пор мы ча­сто употребляем дюжину (число 12): в сутках две дюжины часов, круг содержит тридцать дюжин градусов и так да­лее.

В позиционных системах счисления количествен­ное значение цифры зависит от ее позиции в числе.

Наиболее распространенными в настоящее время позици­онными системами счисления являются десятичная, двоич­ная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Каждая позицион­ная система имеет определенный алфавит цифр и основание.

В позиционных системах счисления основание системы равно количеству цифр (знаков в ее ал­фавите) и определяет, во сколько раз различают­ся значения одинаковых цифр, стоящих в сосед­них позициях числа.

Десятичная система счисления имеет алфавит цифр, кото­рый состоит из десяти всем известных, так называемых араб­ских, цифр, и основание, равное 10, двоичная — две цифры и основание 2, восьмеричная — восемь цифр и основание 8, шестнадцатеричная — шестнадцать цифр (в качестве цифр используются и буквы латинского алфавита) и основание 16 (табл. 1).

Таблица 1. Позиционные системы счисления

Десятичная система счисления. Рассмотрим в качестве примера десятичное число 555. Цифра 5 встречается триж­ды, причем самая правая цифра 5 обозначает пять единиц, вторая справа — пять десятков и, наконец, третья справа — пять сотен.

Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим. В десятичной системе цифра, находящаяся в крайней справа позиции (разряде), обозначает количество единиц, цифра, смещенная на одну позицию влево, — коли­чество десятков, еще левее — сотен, затем тысяч и так да­лее. Соответственно имеем разряд единиц, разряд десятков и так далее.

Число 555 записано в привычной для нас свернутой фор­ме. Мы настолько привыкли к такой форме записи, что уже не замечаем, как в уме умножаем цифры числа на различ­ные степени числа 10.

В развернутой форме записи числа такое умножение за­писывается в явной форме. Так, в развернутой форме запись числа 555 в десятичной системе будет выглядеть следую­щим образом:

555₁₀ = 5 10² + 5-10¹ + 5-10°.

Как видно из примера, число в позиционной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степе­ней основания (в данном случае 10), в качестве коэффициен­тов которых выступают цифры данного числа.

Для записи десятичных дробей используются отрицатель­ные значения степеней основания. Например, число 555,55 в развернутой форме записывается следующим образом:

555,55₁₀ = 5•10² + 5•10¹ + 5•10°+ 5•10^-1 + 5•10^-2.

В общем случае в десятичной системе счисления запись числа А10, которое содержит п целых разрядов числа и т дробных разрядов числа, выглядит так:

А₁₀ = а_n-1•10^n-1 +... + а_о•10°+а_-1•10¹ +... + а_-m•10^-m.

Коэффициенты a_i в этой записи являются цифрами деся­тичного числа, которое в свернутой форме записывается так:

A₁₀=а_n-1 a_n-2... a₀, a_-1...а_-m.

Из вышеприведенных формул видно, что умножение или деление десятичного числа на 10 (величину основания) при­водит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной, на один разряд соответственно вправо или влево. Например:

555,55₁₀• 10 = 5555,5₁₀;

555,55₁₀: 10 = 55,555₁₀.

Двоичная система счисления. В двоичной системе счисле­ния основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр (0 и 1). Следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1.

Например, развернутая запись двоичного числа может выглядеть так:

А₂ = 1•2² + 0•2¹+ 1•2⁰ + 0•2^-1 +1•2^-2.

Свернутая форма этого же числа:

А₂ = 101,01₂.

В общем случае в двоичной системе запись числа А₂, ко­торое содержит п целых разрядов числа и т дробных разря­дов числа, выглядит так:

А₂ = а_n-1 • 2^n-1 + а_n-2•2^n-2 +... а₀ • 2⁰ + а_-1 • 2^-1 +... + а_-m • 2^-m.

Коэффициенты a_i в этой записи являются цифрами (0 или 1) двоичного числа, которое в свернутой форме записывает­ся так:

A₂=a_n-1а_n-2... а0, а_-1 а_-2... а_-m.

Из вышеприведенных формул видно, что умножение или деление двоичного числа на 2 (величину основания) приво­дит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд соответственно вправо или влево. Например:

101,01₂ • 2 = 1010,1₂;

101,01₂: 2 = 10,101₂.

Позиционные системы счисления с произвольным осно­ванием.

Возможно использование множества позиционных систем счисления, основание которых равно или больше 2. В системах счисления с основанием q (g-ичная система счис­ления) числа в развернутой форме записываются в виде сум­мы степеней основания q с коэффициентами, в качестве ко­торых выступают цифры 0, 1, q-1:

A_q = a_n-1• q^n-1 +a_n-2•q^n-2+…+ a₀•q⁰ + a_-1•q^-1 +...+ a_-m• q^-m.

Коэффициенты a_i в этой записи являются цифрами числа, записанного в g-ичной системе счисления.

Так, в восьмеричной системе основание равно восьми (q = 8). Тогда записанное в свернутой форме восьмеричное

число A₈ = 673,28 в развернутой форме будет иметь вид: А₈ = 6•8² + 7•8¹ + 3•8⁰ + 2•8^-1

В шестнадцатеричной системе основание равно шестнад­цати (q = 16), тогда записанное в свернутой форме шестнад­цатеричное число А₁₆ = 8A,F₁₆ в развернутой форме будет иметь вид:

А₁₆ = 8•16¹ + А•16⁰ + F•16^-1.

Если выразить шестнадцатеричные цифры через их деся­тичные значения (А=10, F=15), то запись числа примет вид:

А₁₆ = 8•16¹ + 10•16⁰ + 15•16^-1.

Поиск по сайту: