Представление чисел в компьютере

Представление чисел в формате с фиксированной запя­той. Целые числа в компьютере хранятся в памяти в форма­те с фиксированной запятой. В этом случае каждому разря­ду ячейки памяти соответствует всегда один и тот же разряд числа, а «запятая» «находится» справа после младшего раз­ряда, то есть вне разрядной сетки.

Для хранения целых неотрицательных чисел отводится одна ячейка памяти (8 битов). Например, число А₂ =11110000₂ будет храниться в ячейке памяти следующим образом:

Максимальное значение целого неотрицательного числа достигается в случае, когда во всех ячейках хранятся едини­цы. Для n-разрядного представления оно будет равно

2ⁿ - 1.

Определим диапазон чисел, которые могут храниться в оперативной памяти в формате целых неотрицательных чисел. Минимальное число соответствует восьми нулям, хранящимся в восьми битах ячейки памяти, и равно нулю. Максимальное число соответствует восьми едини­цам и равно

А = 1·2⁷ +1·2⁶ +1·2⁵ + 1·2⁴ + 1·2³ + 1·2² + 1·2¹ + 1·2⁰ = 1·2⁸ - 1 = 255₁₀.

Диапазон изменения целых неотрицательных чисел чи­сел: от 0 до 255.

Для хранения целых чисел со знаком отводится две ячей­ки памяти (16 битов), причем старший (левый) разряд отво­дится под знак числа (если число положительное, то в знако­вый разряд записывается 0, если число отрицательное — 1).

Представление в компьютере положительных чисел с ис­пользованием формата «знак-величина» называется пря­мым кодом числа. Например, число 2002₁₀ = 11111010010₂ будет представлено в 16-разрядном представлении следую­щим образом:

Максимальное положительное число (с учетом выделения одного разряда на знак) для целых чисел со знаком в n-разрядном представлении равно:

А = 2^n-1 - 1.

Для представления отрицательных чисел используется дополнительный код. Дополнительный код позволяет заме­нить арифметическую операцию вычитания операцией сло­жения, что существенно упрощает работу процессора и уве­личивает его быстродействие.

Дополнительный код отрицательного числа А, хранящегося в п ячейках, равен 2ⁿ - |A|.

Дополнительный код представляет собой дополнение мо­дуля отрицательного числа А до 0, так как в n-разрядной компьютерной арифметике:

2ⁿ - |А| + |А| = 0, поскольку в компьютерной n-разрядной арифметике 2ⁿ ≡ 0. Действительно, двоичная запись такого числа состоит из од­ной единицы и n нулей, а в n-разрядную ячейку может уме­ститься только n младших разрядов, то есть n нулей.

Для получения дополнительного кода отрицательного числа можно использовать довольно простой алгоритм:

Модуль числа записать в прямом коде в n двоичных раз­рядах.

Получить обратный код числа, для этого значения всех битов инвертировать (все единицы заменить на нули и все нули заменить на единицы).

К полученному обратному коду прибавить единицу.

Запишем дополнительный код отрицательного числа -2002 для 16-разрядного компьютерного представления:

При n-разрядном представлении отрицательного числа А в дополнительным коде старший разряд выделяется для хранения знака числа (единицы). В остальных разрядах за­писывается положительное число

2^n-1 - 1А|.

Чтобы число было положительным, должно выполняться условие

|А| ≤ 2^n-1.

Следовательно, максимальное значение модуля числа А в л-разрядном представлении равно:

|А| = 2^n-1.

Тогда минимальное отрицательное число равно:

А = - 2^n-1

Определим диапазон чисел, которые могут храниться в оперативной памяти в формате длинных целых чисел со зна­ком (для хранения таких чисел отводится четыре ячейки па­мяти — 32 бита).

Максимальное положительное целое число (с учетом вы­деления одного разряда на знак) равно:

А = 2³¹ - 1 = 2 147 483 647₁₀.

Минимальное отрицательное целое число равно:

А = - 2³¹ = - 2 147 483 648₁₀.

Достоинствами представления чисел в формате с фиксиро­ванной запятой являются простота и наглядность представ­ления чисел, а также простота алгоритмов реализации ариф­метических операций.

Недостатком представления чисел в формате с фиксиро­ванной запятой является небольшой диапазон представле­ния величин, недостаточный для решения математических, физических, экономических и других задач, в которых ис­пользуются как очень малые, так и очень большие числа.

Поиск по сайту: