АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Двоичная система счисления

Читайте также:
  1. I ступень – объектив- центрическая система из 4-10 линз для непосредственного рассмотрения объекта и формирования промежуточного изображения, расположенного перед окуляром.
  2. II. Світовий освітній простір і система освіти в Україні.
  3. V. УЗАГАЛЬНЕННЯ Й СИСТЕМАТИЗАЦІЯ ЗНАНЬ
  4. VI. Система органов дыхания
  5. А) звукопровідна система
  6. Аварии на коммунально-энергетических системах.
  7. Августовская водная система соединяет бассейны рек
  8. Автоматизированная информационная поисковая система правовой информации
  9. Автоматизированная информационно-справочная система
  10. Автоматизированная система информационного обеспечения
  11. Автоматическая Система Обнаружения и Тушения Пожаров (АСОТП) «Игла-М.5К-Т»
  12. Административные наказания: понятие, цели, система и виды. Основные и дополнительные наказания; наказания морального, имущественного характера; наказания, обращенные на личность. 1 страница

 

Двоичная система счисления— это система, в которой для записи чисел используются две цифры 0 и 1. Основанием двоичной системы счисления является число 2. Для получения записи числа в двоичной системе используется представление этого числа с помощью степеней числа 2.

Рассмотрим на примерах, как представляются числа с помощью степеней числа 2. Предварительно приведем таблицу значений степеней числа 2.

 

n
2n

 

Используя эту таблицу, можно записать:

 

=0·20
=20=1·20
=21=1·21+0·20
=2+1=21+20=1·21+1·20
=22=1·22+0·21+0·20
=4+1=22+20=1·22+0·21+1·20
=4+2=22+21=1·22+1·21+0·20
=4+2+1=22+21+20=1·22+1·21+1·20
=16+8+1=24+23+20=1·24+1·23+0·22+0·21+1·20

 

В общем виде представление целого неотрицательного числа с помощью степеней двойки записывается так же, как и представление (1) с заменой числа 10 на число 2:

Здесь каждый из коэффициентов аn, an-1 ,···,a1, a0 является одной из двух двоичных цифр 0 или 1, причем an=1. Запись числа в двоичной системе строится так же, как и в десятичной: первой записывается цифра ап, второй — цифра ап-1и т.д.,

последней — цифра а0.

Двоичный код числа— запись этого числа в двоичной системе счисления.

Таким образом, двоичным кодом числа является последовательность коэффициентов ап an-1 ··· a1 a0 из представления (2). В приведенных примерах двоичные коды имели вид:

 

= 02
= 12
= 102
= 112
= 1002
= 1012
= 1102
= 1112
= 110012
= 11110002

 

Коэффициенты в представлении (2) должны принимать только одно из двух значений: 0 или 1. Это обеспечивает однозначность такого представления.

Если какой-либо из коэффициентов больше 1, то происходит переход к следующей степени числа 2.

 

Например:

2·2n=1·2n+1; 3·2n=(2+1) ·2n=1·2n+1+1·2n.

 

Старший коэффициент аn всегда равен 1, т.е. двоичный код всегда начинается с 1 (так же, как и десятичная, запись числа не может начинаться с нуля). Чтобы лучше понимать, как получается двоичный код некоторого числа, представим себе последовательность разрядов, каждый из которых может содержать только одну из двоичных цифр 0 или 1, т.е. один бит информации. В дальнейшем под битом и разрядом будем понимать одно и то же.



Пронумеруем разряды справа налево. Номер самого правого (младшего) разряда равен нулю. Номер самого левого (старшего) разряда равен показателю наибольшей степени двойки, содержащейся в числе. Значит, всего разрядов, с учетом нулевого, на один больше, чем номер старшего разряда (если номер старшего разряда равен 7, то всего разрядов 8 с номерами от 0 до 7). Номер каждого разряда равен показателю соответствующей степени двойки.

 
 
n n-1 1 0


2n 2n-1 21 20

         

 

Содержимое разряда с номером n равно 1, если 2n участвует в представлении числа в виде суммы степеней двойки, и 0, если не участвует.

Посмотрим, как получается двоичное представление, например, числа 25. Число 25 представляется в виде суммы чисел из этой строки: 25=16+8+1. Каждое число берется только один раз — это обеспечивает однозначность двоичного кода. Затем выбранные числа заменяются равными им степенями двойки из верхней строчки таблицы: 16=24, 8=23, 1=20; 25=24+23+20. И, наконец, разряды, номера которых равны числам, выбранным из первой строчки таблицы (4,3,0) заполняются единицами, а остальные — нулями.

 

25=16+8+1=24+23+20=
=1·24+1·23+0·22+0·21+1·20

 

n
an

 

4. Сколько чисел можно записать с помощью n битов

Уже описано, как получать двоичный код любого десятичного числа, т.е. переводить его из десятичной системы в двоичную. Рассмотрим теперь обратное действие: перевод числа из двоичной системы счисления в десятичную.

‡агрузка...

Итак, требуется найти десятичное число по известному двоичному коду этого числа. Воспользуемся представлением вида (2). Коэффициенты аn, an-l ,···,a1, a0известны. Значит, нужно вычислить значение выражения (2). Рассмотрим примеры. Пусть задан двоичный код 11012.Самый левый — старший бит — имеет номер 3. Следовательно, первое слагаемое равно 1·23. Следующий бит имеет

номер 2. Второе слагаемое равно 1·22. Третье слагаемое равно 0·21 четвертое слагаемое равно 1·20. Искомое число есть сумма четырех слагаемых: 1·23+1·22+0·21+1·20=8+4+1=13. Таким образом, 11012=13.

Пусть задан двоичный код 11010112. Число, имеющее такой двоичный код, равно сумме 1·26+1·25+0·24+1·23+0·22+1·21+1·20=64+32+8+2+1=107.

Следовательно, 11010112=107.

В десятичной системе следующее число получается из предыдущего путем прибавления единицы к количеству единиц предыдущего числа.

То же самое происходит при получении двоичного кода следующего числа из двоичного кода предыдущего: к младшему разряду двоичного кода предыдущего числа прибавляется единица.

Правило выполнения операции сложения одинаково для всех систем счисления: если сумма складываемых цифр больше или равна основанию системы счисления, происходит перенос единицы в следующий слева разряд. Таким образом, правила сложения в двоичной системе таковы:

 

 

 

Пользуясь этими правилами, получаем

+ 112  
12
  1002=410
+ 102  
12
  112=310
+ 1002  
12
  1012=510
+ 1012  
12
  1102=610
+ 1102  
12
  1112=710
+ 1112  
12
  10002=810

 

Возникает вопрос: какое наибольшее десятичное число можно записать в двоичном виде, используя для этой записи заданное число битов?

Наибольшее десятичное число, использующее для записи своего двоичного кода три бита, получается, когда значения всех трех битов равны единице:

 

=1·22+1·21+1·20=22+21+20=4+2+1=7.

 

8=

 

(Точно так же, как в десятичной системе, наибольшее число, состоящее из трех цифр, — 999, получаем, когда каждая из цифр принимает свое максимальное значение, равное 9). Заметим, что 7=8-1=23-1. Чтобы представить следующее за 7 число 8 (=23), потребуется уже четыре бита: . Значит, используя три бита, можно записывать восемь десятичных чисел от 0 до 7.

А если для записи десятичного числа в двоичном виде используется четыре бита? Наибольшее число, двоичный код которого состоит из четырех битов, равно 15: в его двоичном коде все четыре бита, равны единице: 15 = 11112. Снова заметим, что 15=16-1=24-1; для записи следующего за 15 числа 16 нужно уже пять битов. Так что используя четыре бита, можно записывать числа от 0 до 15 (всего 16 = 24 чисел). Уже понятно, что наибольшее число, использующее для своей двоичной записи а битов, равно 2n -1. Следующее за ним число 2n требует для своей записи n+1 бит. Таким образом, используя п битов, можно записывать двоичные коды чисел от 0 до 2n -1, всего 2n чисел.

 


1 | 2 | 3 | 4 |


При использовании материала, поставите ссылку на Студалл.Орг (0.012 сек.)