Система вложенных отрезков. Лемма о системе вложенных отрезков. Лемма о стягивающейся системе вложенных отрезков

Т = {[a,b]} – система вложенных отрезков ⇔ ∀ [а_1,b₁], [a₂,b₂]∈ Т: либо [а_1,b₁] ⊂ [a₂,b₂], либо [a₂,b₂] ⊂ [а_1,b₁]

ЛЕММА 1:

А = {а} – множество левых концов.
В = {b} – множество правых концов
Т = {[a,b]} – система вложенных отрезков ⇒
∀ а ∈ А, ∀ b’ ∈ В: а ≤ b’.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Предположим противное, ∃ а ∈ А ∃ b ∈ В: а > b’. Тогда, так как Т = {[a,b]} – система вложенных отрезков, а’<b’<a<b ⇒ пришли к противоречию, так как [a’,b’] не вложен в [a,b].

ЛЕММА 2:

Т – система вложенных отрезков ⇒ ∃ х₀ ∈ [a,b] ∀ [a,b] ∈ Т

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

А = {а} – множество левых концов – ограничено сверху
В = {b} – множество правых концов – ограничено снизу
х₀ =sup A ⇒ ∀ а ∈ А, а ≤ х₀ (1)
∀ b ∈ В: х₀ ≤ b? (2)
Предположим противное, ∃ b’∈ В: х₀ > b’
Пусть ε = х₀ – b’.
x₀ = sup A ⇒ ∀ ε > 0 ∃ а ∈ А: а > х₀ – ε ⇔ а > х₀ – х₀ – b’ ⇔ а > b’ – пришли к противоречию (лемма 1)
(1) и (2) ⇒ ∃ х₀ ∈ [a,b] ∀ [a,b] ∈ Т – доказано.

Стягивающаяся система вложенных отрезков

Система вложенных отрезков называется стягивающейся, если ∀ ε > 0 ∃ [а,b]∈ Т: b-а < ε.

ТЕОРЕМА:

Т - стягивающаяся система вложенных отрезков ⇒ ∃! х₀ ∈ [а,b] ∀ [а,b] ∈ Т.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Предположим противное, ∃ х₁,х₂ ∈ [а,b] ∀ [а,b]∈ Т, х₁ < х₂
Тогда, ∀ [а,b]∈ Т b-a ≥ х₂ – х₁
Пусть ε = х₂ – х₁ / 2. Тогда нет ни одного отрезка имеющего длину меньше чем ε ⇒ Т – не стягивающаяся ⇒ пришли к противоречию ⇒ х₀ - единственная точка.

Мощность множества. Эквивалентные множества. Счетные множества. Счетность множества рациональных чисел. Счетность конечного или счетного множества счетных множеств. Теорема Кантора (несчетность множества (0,1)). Множества мощности континуум. Примеры множеств мощности континуум.

Мощностью множества называется то общее,, что характеризует все множества эквивалентные данному множеству. Для конечных множеств мощность множества – это количество элементов.

Множества называются эквивалентными или равномощными, если существует биективное отображение одного множества на другое.

Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называются счетными.

ЛЕММА: Множество рациональных чисел счетно (Q ~ N)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

r = m/n, m ∈ Z, n ∈ N. h = |m| + n
h=1, n = 1, m=0, r = 0 ⇔ 1 ∈ N
h=2, n = 1, m = ±1 r=1 ⇔ 2 ∈ N
r=-1 ⇔ 3 ∈ N

и так далее…

ЛЕММА: Множество конечной или счетной совокупности счетных множеств счетно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

А₁, А₂, А_{3 …} - счетные множества.
Пусть А = ∪_n=1^∞ А_n. Произведем нумерацию элементов А = {a} следующим образом.

а₁ = а₁₁, а₂ = а₁₂, а₃ = а₂₁, а₄ = а₁₃, а₅ = а₂₂, а₆ = а₃₁ и так далее.

Таким образом, все элементы множества А можно занумеровать, а если встречаются одинаковые элементы – то учитывать их будем один раз.

ТЕОРЕМА КАНТОРА: [0,1] не является счетным.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Предположим противное, [0,1] ~ N ⇒ ∀ х ∈ [0,1] ⇔ n ∈ N.

Разделим отрезок [0,1] на три части, выберем на нем точку х₁. Возьмем отрезок [а₁,b₁] такой, что:
х₁ ∉ [а₁,b₁] ⊂ [0,1]. Длина его равна 1/3.
На отрезке [а₁,b₁] возьмем точку х₂, разделим [а₁,b₁] на три части, и возьмем ту часть, которой х₂ не принадлежит. И так до бесконечности.

Рассмотрим отрезок [а_k,b_k]. Его длина равна b_k – a_k = 1/3^k.

Т = {[а_k,b_k]} – система вложенных отрезков.
∀ ε > 0 b_k – a_k = 1/3^k < ε
3^k > 1/ε
k > log₃(1/ε)
k = [log₃(1/ε)] +1 ⇒ Т – стягивающаяся ⇒ ∃! х₀ ∈ [а_k,b_k], ∀ [а_k,b_k] ∈ Т

х₀ ∈ [а_k,b_k] ⊂ [0,1]
х₀ ∈ [0,1] ⇒ х₀ ⇔ n₀ ⇒ х₀ = х_n0 ∉ [а_n0,b_n0 ] – пришли к противоречию, так как система Т – стягивающаяся, а х₀ не принадлежит одному из её отрезков ⇒ нельзя пронумеровать. Теорема доказана.

Множества, эквивалентные множеству [0,1], называются множествами мощности континуум.

Примеры множеств мощности континуум:

(0,1) ~ [0,1], так как отнимаются всего 2 элемента.

Множество [а,b] ~ [0,1], так как есть биективное отображение.

8) Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Сходящаяся последовательность. Расходящаяся последовательность. Окрестность точки. Определение предела последовательности в терминах окрестности. Последовательность, сходящаяся слева (справа). Бесконечно большая последовательность. Определить lim _{n ⟶ ∞} х _n = ± ∞.

Последовательность – ∀ n ∈ N ⟶ х ∈ R. х = х _n – перенумерованное множество.
х = х _n – элемент последовательности.

Def1: а ∈ R – предел последовательности ⇔ а = lim_{n ⟶∞} х_n ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N(ε) (номер): ∀ n ≥ N |х_n-а|< ε.

Число а является пределом последовательности х _n, если при любом ε > 0 в (а-ε, а+ε) находится бесконечное количество членов, а вне её – конечное.

Последовательность называется сходящейся ⇔ ∃ а = lim _{n ⟶ ∞} х_n.

Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расходящейся.

ε-окрестностью точки а (U(а,ε)) называют интервал (а-ε,а+ε)

Def2: а = lim_{n ⟶∞}х_n ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N(ε): ∀ n ≥ N х _n ∈ U(а,ε).

Последовательность, сходящаяся справа ⇔ lim _{n ⟶ ∞} х_n = a+0 ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N(ε): ∀ n ≥ N х _n ∈ (а,а+ε)

Последовательность, сходящаяся слева ⇔ lim _{n ⟶ ∞} х_n = a-0 ⇔ ∀ ε >0 ∃ N(ε): ∀ n ≥ N х _n ∈ (а-ε,а)

Бесконечно большая последовательность ⇔ lim _{n ⟶ ∞} х_n = ∞ ⇔ ∀ ε >0 ∃ N(ε): ∀ n ≥ N |х _n| > 1/ε
lim _{n ⟶ ∞} х_n = +∞ ⇔ ∀ ε >0 ∃ N(ε): ∀ n ≥ N х _n > 1/ε
lim _{n ⟶ ∞} х_n = +∞ ⇔ ∀ ε >0 ∃ N(ε): ∀ n ≥ N х _n < -1/ε

Поиск по сайту: