Арифметические операции над последовательностями. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями

ТЕОРЕМА: Если {х _n },{у _n } – сходящиеся, то {х_n ± у _n } – сходящаяся, и lim _{n ⟶ ∞} (х_n ± у _n) = lim _{n ⟶ ∞} х _n ±lim _{n ⟶ ∞} у _n

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

∃ а = lim _{n ⟶ ∞} х _n ⇔ ∀ ε’ > 0 ∃ N₁ (ε): ∀ n ≥ N₁ |х _n -а|< ε’
∃ b = lim _{n ⟶ ∞} y _n ⇔ ∀ ε’ > 0 ∃ N₂ (ε): ∀ n ≥ N₂ |y _n -b|< ε’

lim _{n ⟶ ∞} (х_n ± у _n) = a±b? ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N (ε): ∀ n > N | х_n ± у _n – (a±b)| < ε
|(х _n-а) ± (у _n-b)| < | х _n-а | + | у _n-b | < ε’+ ε’ (возьмем N = max (N₁, N₂), ∀ n ≥ N) = 2*ε‘

Пусть ε =2*ε‘. Тогда ∀ ε > 0 (ε’ = ε/2) ∃ N = max (N₁(ε ’), N₂(ε ’)): ∀ n > N | х_n ± у _n – (a±b)| < ε – что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА: Если {х _n }– сходящаяся, и ∀ α ∈ R, тогда {α*х _n }– сходящаяся и lim _{n ⟶ ∞} α*х _n = α* lim _{n ⟶ ∞} х _n

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

∃ а = lim _{n ⟶ ∞} х _n ⇔ ∀ ε’ > 0 ∃ N(ε’) ∀ n ≥ N |х _n -а|< ε’

lim _{n ⟶ ∞} α*х _n = α*а? ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N(ε) ∀ n ≥ N |α*х _n –α*а|< ε
|α*(х _n -а)| = |α|*|х _n -а|
Если α = 0, то 0 < ε – очевидно
Если α ≠ 0, то |α|*|х _n -а| ≤ |α|*ε’. Пусть ε = |α|*ε’.

Тогда, ∀ ε > 0 (ε’ = ε /|α|) ∃ N ∀ n ≥ N |α*х _n –α*а|< ε – что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА: Если {х _n },{у _n } – сходящиеся, то {х_n * у _n } – сходящаяся, и lim _{n ⟶ ∞} (х_n * у _n) = lim _{n ⟶ ∞} х _n *lim _{n ⟶ ∞} у _n

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

∃ а = lim _{n ⟶ ∞} х _n ⇔ ∀ ε’ > 0 ∃ N₁ (ε): ∀ n ≥ N₁ |х _n -а|< ε’
∃ b = lim _{n ⟶ ∞} y _n ⇔ ∀ ε’ > 0 ∃ N₂ (ε): ∀ n ≥ N₂ |y _n -b|< ε’

lim _{n ⟶ ∞} (х_n * у _n) = a*b? ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N (ε): ∀ n > N | х_n * у _n – (a*b)| < ε
| х_n * у _n – у _n *а + у _n *а – (a*b)| = | (х_n-а)* у _n + a*(у _n - b)| < |(х_n-а)* у _n | + | a*(у _n - b)|

{у _n} – сходящаяся, ⇒ ∃ М > 0 ∀ n ∈ N | у _n | ≤ М. N = max (N₁, N₂)

|(х_n-а)* у _n | + | a*(у _n - b)| ≤ М*|(х_n-а) | + | a*(у _n - b)| < М* ε’+ ε’*|а| = ε’*(М+|а|)

Пусть ε = ε’*(М+|а|).

Тогда, ∀ ε > 0 (ε’ = ε / (М+|а|), N₁(ε), N₂(ε)), N = max (N_1, N₂), ∀ n ≥ N | х_n * у _n – (a*b)| < ε – доказано.

ЛЕММА: Если lim _{n ⟶ ∞} у _n = b, b ≠ 0, тогда ∃ N: ∀ n ≥ N |у _n| > |b|/2

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

lim _{n ⟶ ∞} у _n = b ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N₁(ε) ∀ n ≥ N₁ |y _n -b|< ε

Пусть ε = |b|/2>0

|y _n -b|<|b|/2 | *(-1)
- |y _n -b|>-|b|/2

|b| = |b – y_n + y_n| ≤ | b – y_n | + | y_n |
| y_n | ≥ |b| - | b – y_n | = |b| - |b| /2 = |b| /2
| y_n | ≥ |b| /2 - что и требовалось доказать.

ЛЕММА: Если lim _{n ⟶ ∞} у _n = b, b ≠ 0, тогда lim _{n ⟶ ∞} 1/у _n = 1/b

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

lim _{n ⟶ ∞} у _n = b ⇔ ∀ ε’ > 0 ∃ N (ε’) ∀ n ≥ N |y _n -b|< ε’
lim _{n ⟶ ∞} 1/у _n = 1/b ⇔ ∀ ε’ > 0 ∃ N₂(ε’) ∀ n ≥ N₂ |1/y _n -1/b|< ε’

∀ n ≥ N₁, | y_n | ≥ |b| /2 ⇔ 1/ | y_n | < 2/|b|

|1/y _n -1/b| = | b - y _n | / | y _n |* | b | < 2*| b - y _n | / b² < 2*ε’/b²

Тогда, ∀ ε > 0 (ε’ = ε*b²/2, N₂(ε’)) N = max (N₁,N₂): ∀ n ≥ N |1/y _n -1/b|< ε’ – доказано

ТЕОРЕМА: Если {х _n },{у _n } – сходящиеся, lim _{n ⟶ ∞} у _n ≠ 0, то {х _n /у _n } – сходящаяся и lim _{n ⟶ ∞} х _n /у _n = lim _{n ⟶ ∞} х _n /lim _{n ⟶ ∞} у _n

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

lim _{n ⟶ ∞} х _n /у _n = lim _{n ⟶ ∞} (х _n*(1/ у _n)) = lim _{n ⟶ ∞} х _n* lim _{n ⟶ ∞} 1/у _n = lim _{n ⟶ ∞} х _n * (1/ lim _{n ⟶ ∞} у _n) = = lim _{n ⟶ ∞} х _n / lim _{n ⟶ ∞} у _n (по предыдущим леммам и теоремам)

Бесконечно малые последовательности и их свойства

{x_n} – бесконечно малая последовательность ⇔ lim _{n ⟶ ∞} х _n = 0 ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N(ε): ∀ n ≥ N |х _n| < ε

Свойства бесконечно малых последовательностей:

{x_n} и {у_n} – бесконечно малые последовательности

· {x_n±у_n} – бесконечно малая

· ∀ α ∈ R {α*x_n} – бесконечно малая

· {x_n*у_n} – бесконечно малая

· {у_n} – ограниченная, тогда {x_n*у_n} – бесконечно малая

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

lim _{n ⟶ ∞} x_n = 0 ⇔ ∀ ε’ > 0 ∃ N(ε’) ∀ n ≥ N | x_n | < ε
{у_n} – ограниченная ⇔ ∃ М > 0: ∀ n ∈ N | у_n | < М

Тогда ∀ n ≥ N, |x_n*у_n| = | x_n |*| у_n | < М*ε’
Следовательно, ∀ ε > 0 (ε’ = ε / М) ∃ N (ε’): ∀ n ≥ N |x_n*у_n| < ε - что и требовалось доказать

· {1/x_n} – бесконечно большая

Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса(о существовании предела у монотонной последовательности)

{x_n} – монотонно возрастающая, если х _{n +1} ≥ х _n

{x_n} – монотонно убывающая, если х _{n +1} ≤ х _n

{x_n} – строго монотонно возрастающая, если х _{n +1} > х _n

{x_n} – строго монотонно убывающая, если х _{n +1} < х _n

ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА:

1) Если {x_n} – монотонно возрастающая и ограничена сверху, то lim _{n ⟶ ∞} x_n = sup {x_n}

2) Если {x_n} – монотонно возрастающая и не ограничена сверху, то lim _{n ⟶ ∞} x_n = +∞

3) Если {x_n} – монотонно убывающая и ограничена снизу, то lim _{n ⟶∞} x_n = inf {x_n}

4) Если {x_n} - монотонно убывающая и не ограничена снизу, то lim _{n ⟶∞} x_n = -∞

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

1) {x_n} - ограничена сверху ⇔ ∃ sup {x_n} = a ⇔ ∀ x_n: x_n ≤ а, ∀ ε > 0 х _N > а – ε.
{x_n} - монотонно возрастающая ⇔ х _{n +1} ≥ х _n
∀ n ≥ N х _n ≥ х_N > а-ε
х _n < а ⇒ х _n ∈ (а-ε, а ]
∀ ε > 0 ∃ N (ε) ∀ n ≥ N х _n ∈ (а-ε, а] ⇒ lim _{n ⟶ ∞} х _n = а-0 – доказано

2) {x_n} - не ограничена сверху ⇔ ∀ b ∈ R ∃N(b) ∀ n ≥ N х _n > b. Пусть b = 1/ε.
∀ ε > 0 (b = 1/ε) ∃N(b) ∀ n ≥ N х _n > 1/ε ⇒ lim _{n ⟶ ∞} х _n = +∞ - доказано

3) {x_n} - ограничена снизу ⇔ ∃ inf {x_n} = a ⇔ ∀ х _n : х _n ≥ а, ∀ ε > 0 ∃ х_N < а+ε
{x_n} - монотонно убывающая ⇔ х _n+1 ≤ х _n
∀ n ≥ N х _n ≤ х _N <а+ε, х _n ≥ а ⇒ х _n ∈ [а, а+ε)
∀ ε > 0 ∃ N(ε) ∀ n ≥ N х _n ∈ [а, а+ε) ⇒ lim _{n ⟶ ∞} х _n = а+0 – доказано.

4) {x_n} - не ограничена снизу ⇔ ∀ b ∈ R ∃N(b): ∀ n ≥ N х _n < b. Пусть b = -1/ε.
∀ ε > 0 (b = -1/ε) ∃N(b): ∀ n ≥ N х _n < -1/ε ⇔ lim _{n ⟶ ∞} х _n = -∞ - доказано.

Поиск по сайту: