АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Эквивалентность двух определений линейной зависимости

Читайте также:
  1. II. Элементы линейной и векторной алгебры.
  2. III. Другие виды вещей, или имуществ, в зависимости от свойств вещей в гражданском обороте
  3. Алгоритм оценки и проверки адекватности нелинейной по параметрам модели (на примере функции Кобба-Дугласа).
  4. Аллергические реакции развиваются в независимости от дозы и длительности применения препаратов
  5. Аппроксимационная задача линейной регрессии
  6. б) Построим графики исходной, линейной и квадратичной зависимостей
  7. В зависимости от их функций в предложении.
  8. В зависимости от масштаба карты бывают: топографические, обзорно-топографические, обзорные.
  9. в зависимости от объема производства
  10. В зависимости от особенностей строения слизистой оболочки полости носа различают респираторный и обонятельный отделы.
  11. В зависимости от причин, которые вызывают безработицу, различают три ее вида: фрикционная; структурная; циклическая.
  12. В зависимости от условий термической обработки полуводный гипс может иметь 2 модификации a- и b-полугидраты.

Пусть М — произвольная система векторов про­странства. Эта система называется линейно независимой, если линейная комбинация векторов, принадлежащих системе, может быть равна нулю только в том случае, когда все коэффициенты равны нулю. В случае, если можно указать хотя бы одну линейную комбинацию векторов системы, коэффициенты которой не все равны нулю и которая тем не менее равна нулю, говорят, что данная си­стема линейно зависима.

Легко видеть, что если на плоскости взять любые два непарал­лельных вектора, то они будут линейно независимы: никакая их линейная комбинация с отличными от нуля коэффициентами не может

быть равна нулю. Такое же положение будет, если в «обычном» трёхмерном пространстве взять три вектора, не параллельные одной плоскости.

Наоборот, если на плоскости взять любую систему из трёх векторов, то она уже будет линейно зависимой: в этом случае хотя бы один из трёх векторов будет линейной комбинацией двух других, например a = klb-\-k2c. Но, перенося все члены этого равенства в одну часть, мы получим la — kxb— k2c = 0. А это означает, что нашлась линейная комбинация данных векторов, кото­рая равна нулю, несмотря на отличие от нуля её коэффициентов (коэффициент 1 при векторе а, очевидно, отличен от нуля).

Только что проведённое рассуждение позволяет доказать сле­дующую простую, но важную теорему.

Теорема. Система векторов, содержащая более одного эле­мента, линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из её векторов представляется линейной комбинацией остальных.

Таким образом, содержащееся в формулировке этой теоремы условие почти эквивалентно первоначальному определению линейной зависимости. Некоторым дефектом этого условия является лишь то, что оно не может быть применено к одному вектору: если система состоит из одного вектора, то говорить о его выражении через «остальные» нельзя без некоторой натяжки; в то же время гово­рить о линейной зависимости или линейной независимости такой системы в смысле нашего определения можно, так как можно рас­сматривать линейные комбинации векторов, состоящие из одного слагаемого.

Именно, возможность применять первоначальное определение без каких-либо оговорок делает его более удобным.

 

Лемма о линейной зависимости системы векторов, содерж нулевой вектор

Лемма о линейной зависимости системы векторов, содерж нулевой вектор
Если среди векторов имеется нулевой вектор, то такая система векторов всегда является линейно-зависимой. А1; А2; О; А4
0 = 0*А1 + 0*А2+0*А4 Если в сиситеме имеется нулевой вектор, она линейнозависима.

Лемма о линейно независимости диагональной системы векторов

Лемма о линейно независимости диагональной системы векторов
Диагональная система векторов всегда линейнозависима. Яркий представитель такой системы – это единичный вектор (по диагонали единицы, а остальное - нули


Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.002 сек.)