Закон распределения непрерывных переменных

В случае, когда Х непрерывная случайная переменная, ее закон распределения вероятностей выражается с помощью функции плотности вероятностей, который по определению есть:

где: P(t≤x≤t+Δt) – вероятность того, что случайная переменная Х примет в опыте значение, лежащее в интервале (t, t+Δt)

Пример:Закон равномерного распределения Х на отрезке [a, b]

Выборка и ее свойства.

Выборка – это случайный вектор, составленный из результатов наблюдений, каждое из которых суть независимая случайная величина.

Пусть y₁, y₂,…,y_n результаты наблюдения за поведением случайной величины Y c законом распределения P_y(t,A)

Тогда выборка есть вектор, собранный из результатов наблюдений Y=(y₁, y₂,…,y_n)^T

Каждый элемент выборки есть случайная величина и, следовательно, имеет свой закон распределения

P_y(y₁, a₁,a₂,…,a_k)

P_y(y₂, a₁,a₂,…, a_k)

…………………..

P_y(y_n, a₁,a₂,…,a_k);

Свойства случайной выборки

1. Каждый элемент выборки есть случайная величина с тем же законом распределения, что и случайная величина Y
2. Все значения, входящие в выборку независимые величины

Тогда для них справедлива теорема умножения вероятностей:

P_y(y₁,y₂,…,y_nA)=P_y(t₁, A) P_y(t₂, A)… P_y(t_n, A)

Это выражение – закон распределения выборки

Задача заключается в том, чтобы найти процедуры, с помощью которых можно найти значения параметров распределения.

A = F(y₁,y₂,…,y_n)

Свойства оценок параметров распределения.

Оценка представляет собой частный случай случайной величины

Например. Рассмотрим оценку математического ожидания в виде среднего значения:

4.11

Замечание

Любую случайную величину можно представить в виде:

X_i = μ + U_i

где: U_i – случайная величина

μ – константа равная математическому ожиданию X_i

1. Несмещенность оценки

4.12

Процедуры, которые дают такие оценки будим называть

несмещенными

Замечание. Несмещенных процедур может быть много

Пример. Рассмотрим процедуру оценки математического ожидания

Эта процедура несмещенная т.к

Вопрос. Можно ли найти иную несмещенную процедуру?

Пусть имеем выборку наблюдений за случайной величиной Х с законом распределения P_x(t) из двух значений x₁ и x₂, следовательно для нее справедливо:

Пусть такой процедурой будет: Z=λ₁x₁+λ₂x₂

Тогда

Вывод. Все процедуры, для которых λ₁+λ₂=1 дают несмещенные оценки среднего значения.

Поиск по сайту: