|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
методом конечных элементов»КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА (расчетно-графическая работа) по теории упругости)
«Расчет пластинки на упругом основании методом конечных элементов»
Шифр 22
Исполнитель: Студента Группы 114329 Ф. И. О. Борисовец Руководитель: Ф.И.О. Соболевский С. В.
Минск 2011
Дано:
На квадратную пластинку 9,5 х 9,5 м, опирающуюся на упругое основание с коэффициентом жесткости k o = 10 МН/м, действуют четыре силы F =850 кН (табл.П2), приложенные в расчетных точках 1, 2, 5, 7 (табл. П1). Принимаем коэффициент Пуассона u = 0,25, опасное напряжение s dan = s y = 20 МПа, площадку приложения нагрузки F квадратной со стороной 25 см. Модуль упругости и толщина пластинки соответственно равны E = 58 ГПа и h = 20 см (табл. П1).
Р е ш е н и е:
1. Изобразим конечно-элементную модель пластинки, все ее расчетные точки и нагрузку (рис. П1).
2. Подготовим исходные данные для расчета пластинки по программе CROSS
Нагрузка F, приложенная к ячейке, распределяется по четырем соседним узлам, примыкающим к этой ячейке в виде сил, равных F /4 = 550/4 = 137.5 кН.
Таблица П1 Значения сил и их место приложения
В результате расчета пластинки на упругом основании по программе CROSS получены карты изолиний для прогибов пластинки, изгибающих и крутящих моментов в ее сечениях (рис. П2). На основе анализа карт изолиний установлено: – точки пластинки, расположенные в ее левой части, перемещаются вниз, а расположенные в правой части – вверх; максимальный прогиб достигает 15 мм; – наибольшие изгибающие моменты Mx, My и скручивающие моменты Mxy появляются на верхнем и нижнем углах левой части пластинки и достигают 40 кНм;
Рис. П2. Карты изолиний изгибающих моментов Mx – а, крутящих моментов Mxy – б, изгибающих моментов My – в, прогибов W – г.
3. По результатам расчета пластинки, полученной программой CROSS (табл. П3), построим ее упругую ось, эпюры изгибающих моментов Mx, My и скручивающих моментов Mxy в сечении I – I (рис. П3). Учитывая принцип независимости действия сил, и пользуясь данными таблицы П3, вычислим прогибы и моменты в расчетных точках сечения I – I, вызванные силами F = 550 кН. ;; ;
где - данные из таблицы П3.
В точке (x = 0,25 м, y = 4,75 м)
W = (-1,22+0,08+16,71-0.10)*850/1000=13,15мм; Mx = (0,63+0.11+6,67-1,02)*850/1000=5,43кНм; My = (-1,24+0,24+139,99+01,92)*850/1000=119,77кНм; Mxy = (-4,22+0,64+0,00+0,00)*850/1000=-3,04кНм.
В точке (x = 1,75 м, y = 4,75 м)
W = (-0,61-0,21+6,52+1,5)*850/1000=6,12мм; Mx = (0,94+0,92-42,72-6,36)*850/1000=-40,14кНм; My = (-4,74+0,27+28,26+6,17)*850/1000=25,47кНм; Mxy = (-3,40+0,88+0,00+0,00)*850/1000=-2,14кНм.
В точке (x = 3,25 м, y = 4,75 м)
W = (-0,24-0,59+1,49+3,90)*850/1000=3,88мм; Mx = (-0,3+0,62-28,73+3,00)*850/1000=-21,6кНм; My = (-9,19-0,25+3,11+24,87)*850/1000=15,76кНм; Mxy = (-2,45+0,99+0,00+0,00)*850/1000=-1,24кНм.
В точке (x = 4,75 м, y = 4,75 м) W = (-0,10-1,02-0,10+5,94)*850/1000=4,01мм; Mx = (-0,44-2,71-11,42+78,03)*850/1000=53,94кНм; My = (-11,43-2,71-0,44+78,03)*850/1000=53,93кНм; Mxy = (0,00-0,10+0,00+0,00)*850/1000=-0,08кНм.
В точке (x = 6,25 м, y = 4,75 м) W = (-0,24-1,19-0,29+3,90)*850/1000=2,18 мм; Mx = (-0,30-8,98-2,61+3,00)*850/1000= -7,56кНм; My = (-9,19-8,91-0,28+24,86)*850/1000=5,51 кНм; Mxy = (2,45-3,70+0,00+0,00)*850/1000=-1,06кНм.
В точке (x = 7,75 м, y = 4,75 м) W = (-0,61-0,62-0,11+1,5)*850/1000=0,14 мм; Mx = (0,94-12,96-0,13-6,36)*850/1000=-15,73кНм; My = (-4,74-19,79-0,06+6,17)*850/1000=-15,66кНм; Mxy = (3,40-9,37+0,00+0,00)*850/1000=-5,07кНм.
В точке (x = 9,25 м, y = 4,75 м)
W = (-1,22+0,73+0,10-0,10)*850/1000=-0,42 мм; Mx = (0,63-3,31-0,01-1,02)*850/1000=-3,15кНм; My = (-1,24-32,27-0,17+1,92)*850/1000=-25,36кНм; Mxy = (4,23-11,34+0,00+0,00)*850/1000=-6,04кНм.
Нарисуешь эпюры по значениям
По эпюрам (рис. П3) видно, что в сечении I-I наибольший прогиб W появляется в левой части пластинки и достигает 8,51 мм. Большие изгибающие моменты Mx и My появляются в средней и левой части пластинки, которые вызывают растяжение ее нижних слоев. Наибольшие крутящие моменты наблюдаются вблизи левого и правого краев пластинки, а в ее средней части он почти равен нулю. 4. К пластинке приложены четыре силы F = 550 кН в расчетных точках 2 – xF = 4,75 м, yF = 0,25 м; 3 – xF = 9,25 м, yF = 0,25 м; 4 – xF = 0,25 м, yF = 4,75 м; 5 – xF = 4,75 м, yF = 4,75 м; Вычислим изгибающие и крутящие моменты в этих точках от совместного действия всех четырех сил. Для этого используем результаты расчета пластинки по программе CROSS, приведенные в таблице П3. В точке 1 Mx = (140-32,27-1,24+1,92)×850/1000 = 92,15кНм; My = (6,67-3,31+0,63-1,02)×850/1000 = 2,52кНм; Mxy =(0,00-11,66-4,24+0,00)×850/1000 =-13,52 кНм. В точке 2 Mx = (-4,04+9,17+0,16+0,66)×850/1000 = 5,06кНм; My = (-3,78+9,17+0,11+0,66)×850/1000 =5,24 кНм; Mxy =(4,89-70,58-0,14-1,01)850/1000 = -56,82кНм. В точке 3 Mx = (0,11-0,12-3,78+0,66)×850/1000 =-2,66 кНм; My = (0,16-0,12-4,04+0,66)×850/1000 =-2,84 кНм; Mxy =(-0,13+0,18+4,68-1,01)×850/1000 =3,162 кНм. В точке 4 Mx = (-0,44-2,71-11,42+78,03)×850/1000 = 63,46кНм; My = (-11,43-2,71-0,44+78,03)850/1000 = 53,93кНм; Mxy =(0,00-0,10+0,00+0,00)×850/1000 =-0,08. Выберем точку 1 и проведем исследование в ней напряженно-деформированного состояния. Определим давление местной нагрузки на поверхность пластинки, принимая площадку приложения нагрузки квадратной со стороной равной 0,25 м.
. Определим поперечные силы от местной нагрузки F . Найдем момент инерции сечения шириной в один метр. õ=h3 / 12=203/12=666,67 см3 Вычислим максимальные нормальные напряжения от изгибающих моментов, которые появляются в точке 1 Mx = 59,63 кНм и My = 2,52 кНм. = = -[(92,15*103)/ (666,67*10-6)]*(0,20/2)=-3,82 МПа;
=-[(2,52*103)/(666,67*10-6)]*(0,20/2)=-0,0378 МПа.
Вычислим касательные напряжения от крутящего момента в точке 1 Mxy = -13,52 кНм
= [(-13,52*103)/(666,67*10-6)*(0,20/2)]=-2,02 МПа
Определим максимальное нормальное напряжение от местной нагрузки p = 8,80 МПа sz = - p = - 8,80 МПа Вычислим максимальное касательное напряжение, вызванное поперечными силами Qzx и Qzy = (3*550*103)/(2*0,20)= 4,125 МПа
Построим эпюры нормальных и касательных напряжений, вызванные внутренними силами в рассматриваемой расчетной точке 1
5. В окрестности выбранной точки 1 на верхней поверхности пластинки вырежем элементарный объем в форме кубика, покажем все напряжения, действующие на его площадках,
и запишем тензор напряжений: -3,82 -1,02 0 = = -1,02 -0,0378 0 0 0 0 -8,80
На всех площадках элементарного объема действуют напряжения (рис.П7). Поэтому материал в окрестности исследуемой точки испытывает объемное напряженное состояние. Вычислим инварианты тензора напряжений
= -3,82-0,0378-8,8=-12,66 =(-3,82)*(-0,0378)+(-0,0378)*(-8,80)+(-8,80)*(-3,82)-(1,02)2=33,05 =(-3,82)*(-0,0378)*(-8,8)+2*(-1,02)*0*0+3,82*02+0,0378*02+8,80*1,022= -0,1194 Решим кубическое уравнение (7)
σ3+12,66 σ2+33,05σ-0,1194 Сделаем подстановку и приведем уравнение к виду
.
Здесь новые коэффициенты равны
=1/3[ 33,05 – 12,662 /3]=-6,792
½*(-2/27*(-12,66)3+1/3*(-12,66)*33,05+0,1194=-5,475
Определим параметр, знак которого должен совпадать со знаком q r=2,606 Вычислим вспомогательный угол j
j=arcos(q/r3)=arcos (-5,475/2,6063)=1,885 рад Корни промежуточного уравнения равны =-2*2,606*cos(1,885/3)=-4,217
=2*2,606*cos(3.14/3-1,885/3)=4,763
=2*2,606*cos(3.14/3+1,885/3)=0,546
Проверим решение промежуточного уравнения y1+y2+y3 = -4,217+4,763+0,546 =0.00. Вычислим значения главных напряжений =-4,217-12,66/3=-8,437
=4,763-12,66/3=-0,543 =0,546-12,66/3=-3,674
Расставим индексы главных напряжений в соответствии с условием .
σ1=-0,543 МПа σ2=-3,674МПа σ3=-8,437МПа
Проверим полученные значения главных напряжений, вычислив по их значениям инварианты.
=-0,543-3,674-8,437=-12,654 =(-0,543)*(-3,674)+(-3,674)*(-8,437)+(-8,437)*(-0,543)=33,57 = =(-0,0543)*(-3,674)*(-8,437)=0,1297
Определим положение главных площадок. Так как на верхней (нижней) площадке касательные напряжения отсутствуют, то эта площадка и нормальное напряжение , действующее на ней, являются главными. Следовательно, Найдем положение главной площадки, на которой действует σ1=-0,0031МПа. Для этого воспользуемся первым уравнением системы (5), разделив его на m 1,
и учтем, что n 1 = 0, получим (-3,82+0,543)*l1/m1-2,02=0 Отсюда имеем l1/m1=-0,616 Учитывая, что , найдем направляющие косинусы =0,851 =-0,616*0,851=-0,524
Аналогично определим направляющие косинусы для площадки, где действует главное напряжение s2 = -5,805 МПа. l 2 = -0,851; m 2 =-524; n 2 = 0. Проверим ортогональность (взаимно перпендикулярность) главных площадок. = =-0,524*(-0,851)+0,851*(0,524)+0*0=0 =-851*0-0,524*0+0*1=0 =0*(-0,524)+0*0,851+1*0=0 Очевидно, что ортогональность соблюдается. Покажем положение главных площадок в окрестности точки 2 (рис. 19).
6. Используя теория прочности Губера-Мизеса-Генки, определим допускаемую нагрузку Fadm, из условия наступления предельного состояния в окрестности расчетной точки 2.
где s dan – опасное напряжение, соответствующее предельному состоянию материала, полученное при испытании на осевое растяжение s dan = s y = 20 МПа; s i – интенсивность напряжения
Вычислим допускаемую нагрузку
½[(-0,543+3,674)2+(-3,674+8,437)2+(-8,437+0,543)2]=8,57 МПа =(20*550)/(1,5*8,57)=855,698 кН
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.034 сек.) |