АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

методом конечных элементов»

Читайте также:
  1. АВТОМАТИЗАЦІЯ УСТАНОВКИ ДЛЯ ОТРИМАННЯ РЕЧОВИНИ МЕТОДОМ ЗМІШУВАННЯ
  2. Автоматическое управление движением с помощью конечных выключателей, пример.
  3. АВТОРСКИЙ ПРОЕКТ ФОРМИРОВАНИЯ КУЛЬТУРЫ ЛЮБВИ У ДЕТЕЙ –СОЦИАЛЬНЫХ СИРОТ МЕТОДОМ КАНИСТЕРАПИИ «ГОРОД СОЛНЦА» (Г. БАРНАУЛ)
  4. Алгоритм решения ЗЛП графическим методом
  5. Анализ однокомпонентных систем фотометрическим методом
  6. Аналіз та оцінка середовища підприємств за методом SWOT-аналізу
  7. АППРОКСИМАЦИЯ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
  8. Больной (чувствовал себя больным 3 дня) госпитализирован в инфекционную клинику с предварительным диагнозом: брюшной тиф. Каким методом можно подтвердить диагноз?
  9. В аптеке лекарственный препарат стерилизовали методом тиндализации. Какой аппарат использовали для этого?
  10. В лаборатории проводилось исследование по поводу диагностики столбняка. Каким методом стерилизации необходимо уничтожить выделенные культуры возбудителей столбняка?
  11. Визначення відношення молярних теплоємностей повітря методом адіабатичного розширення
  12. Визначення коефіцієнта в'язкості рідини методом Стокса

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

(расчетно-графическая работа)

по теории упругости)

 

«Расчет пластинки на упругом основании

методом конечных элементов»

 

Шифр 22

 

 

Исполнитель:

Студента

Группы 114329

Ф. И. О. Борисовец

Руководитель:

Ф.И.О. Соболевский С. В.

 

Минск 2011

 

Дано:

 

На квадратную пластинку 9,5 х 9,5 м, опирающуюся на упругое основание с коэффициентом жесткости k o = 10 МН/м, действуют четыре силы F =850 кН (табл.П2), приложенные в расчетных точках 1, 2, 5, 7 (табл. П1).

Принимаем коэффициент Пуассона u = 0,25, опасное напряжение s dan = s y = 20 МПа, площадку приложения нагрузки F квадратной со стороной 25 см. Модуль упругости и толщина пластинки соответственно равны E = 58 ГПа и h = 20 см (табл. П1).

 

Р е ш е н и е:

 

 
 

1. Изобразим конечно-элементную модель пластинки, все ее расчетные точки и нагрузку (рис. П1).

 

2. Подготовим исходные данные для расчета пластинки по программе CROSS

 

Длина пластинки 9,5 м
Ширина пластинки 9,5 м
Количество узлов вдоль пластинки  
Количество узлов поперек пластинки  
Модуль упругости материала пластинки 58 ГПа
Коэффициент Пуассона материала пластинки 0,25
Толщина пластинки 20 см
Коэффициент жесткости основания 10 МН/м

 

Нагрузка F, приложенная к ячейке, распределяется по четырем соседним узлам, примыкающим к этой ячейке в виде сил, равных F /4 = 550/4 = 137.5 кН.

 

Таблица П1

Значения сил и их место приложения

 

Нагрузка, кН Номер вертикали Номер горизонтали Нагрузка, кН Номер вертикали Номер горизонтали
137,5     137,5    
137,5     137,5    
137,5     137,5    
137,5     137,5    
137,5     137,5    
137,5     137,5    
137,5     137,5    
137,5     137,5    

 

В результате расчета пластинки на упругом основании по программе CROSS получены карты изолиний для прогибов пластинки, изгибающих и крутящих моментов в ее сечениях (рис. П2).

На основе анализа карт изолиний установлено:

– точки пластинки, расположенные в ее левой части, перемещаются вниз, а расположенные в правой части – вверх; максимальный прогиб достигает 15 мм;

– наибольшие изгибающие моменты Mx, My и скручивающие моменты Mxy появляются на верхнем и нижнем углах левой части пластинки и достигают 40 кНм;

           
 
а
   
б
 
 
   
б


           
   
г
 
в
 
г
 

Рис. П2. Карты изолиний изгибающих моментов Mx – а, крутящих моментов

Mxy – б, изгибающих моментов My – в, прогибов W – г.

 

3. По результатам расчета пластинки, полученной программой CROSS (табл. П3), построим ее упругую ось, эпюры изгибающих моментов Mx, My и скручивающих моментов Mxy в сечении I – I (рис. П3).

Учитывая принцип независимости действия сил, и пользуясь данными таблицы П3, вычислим прогибы и моменты в расчетных точках сечения I – I, вызванные силами F = 550 кН.

;;

;

 

где - данные из таблицы П3.

 

В точке (x = 0,25 м, y = 4,75 м)

 

W = (-1,22+0,08+16,71-0.10)*850/1000=13,15мм;

Mx = (0,63+0.11+6,67-1,02)*850/1000=5,43кНм;

My = (-1,24+0,24+139,99+01,92)*850/1000=119,77кНм;

Mxy = (-4,22+0,64+0,00+0,00)*850/1000=-3,04кНм.

 

В точке (x = 1,75 м, y = 4,75 м)

 

W = (-0,61-0,21+6,52+1,5)*850/1000=6,12мм;

Mx = (0,94+0,92-42,72-6,36)*850/1000=-40,14кНм;

My = (-4,74+0,27+28,26+6,17)*850/1000=25,47кНм;

Mxy = (-3,40+0,88+0,00+0,00)*850/1000=-2,14кНм.

 

В точке (x = 3,25 м, y = 4,75 м)

 

W = (-0,24-0,59+1,49+3,90)*850/1000=3,88мм;

Mx = (-0,3+0,62-28,73+3,00)*850/1000=-21,6кНм;

My = (-9,19-0,25+3,11+24,87)*850/1000=15,76кНм;

Mxy = (-2,45+0,99+0,00+0,00)*850/1000=-1,24кНм.

 

В точке (x = 4,75 м, y = 4,75 м)

W = (-0,10-1,02-0,10+5,94)*850/1000=4,01мм;

Mx = (-0,44-2,71-11,42+78,03)*850/1000=53,94кНм;

My = (-11,43-2,71-0,44+78,03)*850/1000=53,93кНм;

Mxy = (0,00-0,10+0,00+0,00)*850/1000=-0,08кНм.

 

В точке (x = 6,25 м, y = 4,75 м)

W = (-0,24-1,19-0,29+3,90)*850/1000=2,18 мм;

Mx = (-0,30-8,98-2,61+3,00)*850/1000= -7,56кНм;

My = (-9,19-8,91-0,28+24,86)*850/1000=5,51 кНм;

Mxy = (2,45-3,70+0,00+0,00)*850/1000=-1,06кНм.

 

 

В точке (x = 7,75 м, y = 4,75 м)

W = (-0,61-0,62-0,11+1,5)*850/1000=0,14 мм;

Mx = (0,94-12,96-0,13-6,36)*850/1000=-15,73кНм;

My = (-4,74-19,79-0,06+6,17)*850/1000=-15,66кНм;

Mxy = (3,40-9,37+0,00+0,00)*850/1000=-5,07кНм.

 

В точке (x = 9,25 м, y = 4,75 м)

 

W = (-1,22+0,73+0,10-0,10)*850/1000=-0,42 мм;

Mx = (0,63-3,31-0,01-1,02)*850/1000=-3,15кНм;

My = (-1,24-32,27-0,17+1,92)*850/1000=-25,36кНм;

Mxy = (4,23-11,34+0,00+0,00)*850/1000=-6,04кНм.

 

Нарисуешь эпюры по значениям

 

По эпюрам (рис. П3) видно, что в сечении I-I наибольший прогиб W появляется в левой части пластинки и достигает 8,51 мм. Большие изгибающие моменты Mx и My появляются в средней и левой части пластинки, которые вызывают растяжение ее нижних слоев. Наибольшие крутящие моменты наблюдаются вблизи левого и правого краев пластинки, а в ее средней части он почти равен нулю.

4. К пластинке приложены четыре силы F = 550 кН в расчетных точках

2 – xF = 4,75 м, yF = 0,25 м; 3 – xF = 9,25 м, yF = 0,25 м;

4 – xF = 0,25 м, yF = 4,75 м; 5 – xF = 4,75 м, yF = 4,75 м;

Вычислим изгибающие и крутящие моменты в этих точках от совместного действия всех четырех сил. Для этого используем результаты расчета пластинки по программе CROSS, приведенные в таблице П3.

В точке 1 Mx = (140-32,27-1,24+1,92)×850/1000 = 92,15кНм;

My = (6,67-3,31+0,63-1,02)×850/1000 = 2,52кНм;

Mxy =(0,00-11,66-4,24+0,00)×850/1000 =-13,52 кНм.

В точке 2 Mx = (-4,04+9,17+0,16+0,66)×850/1000 = 5,06кНм;

My = (-3,78+9,17+0,11+0,66)×850/1000 =5,24 кНм;

Mxy =(4,89-70,58-0,14-1,01)850/1000 = -56,82кНм.

В точке 3 Mx = (0,11-0,12-3,78+0,66)×850/1000 =-2,66 кНм;

My = (0,16-0,12-4,04+0,66)×850/1000 =-2,84 кНм;

Mxy =(-0,13+0,18+4,68-1,01)×850/1000 =3,162 кНм.

В точке 4 Mx = (-0,44-2,71-11,42+78,03)×850/1000 = 63,46кНм;

My = (-11,43-2,71-0,44+78,03)850/1000 = 53,93кНм;

Mxy =(0,00-0,10+0,00+0,00)×850/1000 =-0,08.

Выберем точку 1 и проведем исследование в ней напряженно-деформированного состояния. Определим давление местной нагрузки на поверхность пластинки, принимая площадку приложения нагрузки квадратной со стороной равной 0,25 м.

 

.

Определим поперечные силы от местной нагрузки F

.

Найдем момент инерции сечения шириной в один метр.

õ=h3 / 12=203/12=666,67 см3

Вычислим максимальные нормальные напряжения от изгибающих моментов, которые появляются в точке 1 Mx = 59,63 кНм и

My = 2,52 кНм.

=

= -[(92,15*103)/ (666,67*10-6)]*(0,20/2)=-3,82 МПа;

 
 

 


=-[(2,52*103)/(666,67*10-6)]*(0,20/2)=-0,0378 МПа.

 

Вычислим касательные напряжения от крутящего момента в точке 1

Mxy = -13,52 кНм

 

= [(-13,52*103)/(666,67*10-6)*(0,20/2)]=-2,02 МПа

 

Определим максимальное нормальное напряжение от местной нагрузки

p = 8,80 МПа sz = - p = - 8,80 МПа

Вычислим максимальное касательное напряжение, вызванное поперечными силами Qzx и Qzy

= (3*550*103)/(2*0,20)= 4,125 МПа

 

Построим эпюры нормальных и касательных напряжений, вызванные внутренними силами в рассматриваемой расчетной точке 1

 

 

 

 

5. В окрестности выбранной точки 1 на верхней поверхности пластинки вырежем элементарный объем в форме кубика, покажем все напряжения, действующие на его площадках,

 
 

 

 


и запишем тензор напряжений:


-3,82 -1,02 0

= = -1,02 -0,0378 0

0 0 0 -8,80

 

На всех площадках элементарного объема действуют напряжения (рис.П7). Поэтому материал в окрестности исследуемой точки испытывает объемное напряженное состояние.

Вычислим инварианты тензора напряжений

 

= -3,82-0,0378-8,8=-12,66

=(-3,82)*(-0,0378)+(-0,0378)*(-8,80)+(-8,80)*(-3,82)-(1,02)2=33,05


=(-3,82)*(-0,0378)*(-8,8)+2*(-1,02)*0*0+3,82*02+0,0378*02+8,80*1,022= -0,1194

Решим кубическое уравнение (7)

 

σ3+12,66 σ2+33,05σ-0,1194

Сделаем подстановку и приведем уравнение к виду

 

.

 

Здесь новые коэффициенты равны

 

=1/3[ 33,05 – 12,662 /3]=-6,792

 

½*(-2/27*(-12,66)3+1/3*(-12,66)*33,05+0,1194=-5,475

 

Определим параметр, знак которого должен совпадать со знаком q

r=2,606

Вычислим вспомогательный угол j

 

j=arcos(q/r3)=arcos (-5,475/2,6063)=1,885 рад

Корни промежуточного уравнения равны

=-2*2,606*cos(1,885/3)=-4,217

 

 
 


=2*2,606*cos(3.14/3-1,885/3)=4,763

 

 
 


=2*2,606*cos(3.14/3+1,885/3)=0,546

 

Проверим решение промежуточного уравнения

y1+y2+y3 = -4,217+4,763+0,546 =0.00.

Вычислим значения главных напряжений

 
 


=-4,217-12,66/3=-8,437

 

 
 


=4,763-12,66/3=-0,543

 
 


=0,546-12,66/3=-3,674

 

Расставим индексы главных напряжений в соответствии с условием

.

 

σ1=-0,543 МПа σ2=-3,674МПа σ3=-8,437МПа

 

Проверим полученные значения главных напряжений, вычислив по их значениям инварианты.

 

=-0,543-3,674-8,437=-12,654

 
 


=(-0,543)*(-3,674)+(-3,674)*(-8,437)+(-8,437)*(-0,543)=33,57

= =(-0,0543)*(-3,674)*(-8,437)=0,1297

 

Определим положение главных площадок. Так как на верхней (нижней) площадке касательные напряжения отсутствуют, то эта площадка и нормальное напряжение , действующее на ней, являются главными. Следовательно,

Найдем положение главной площадки, на которой действует

σ1=-0,0031МПа. Для этого воспользуемся первым уравнением системы (5), разделив его на m 1,

 

и учтем, что n 1 = 0, получим

(-3,82+0,543)*l1/m1-2,02=0

Отсюда имеем

l1/m1=-0,616

Учитывая, что , найдем направляющие косинусы

=0,851


=-0,616*0,851=-0,524

 

Аналогично определим направляющие косинусы для площадки, где действует главное напряжение s2 = -5,805 МПа.

l 2 = -0,851; m 2 =-524; n 2 = 0.

Проверим ортогональность (взаимно перпендикулярность) главных площадок.

= =-0,524*(-0,851)+0,851*(0,524)+0*0=0

=-851*0-0,524*0+0*1=0

=0*(-0,524)+0*0,851+1*0=0

Очевидно, что ортогональность соблюдается. Покажем положение главных площадок в окрестности точки 2 (рис. 19).

 

 

 

6. Используя теория прочности Губера-Мизеса-Генки, определим допускаемую нагрузку Fadm, из условия наступления предельного состояния в окрестности расчетной точки 2.

 

где s dan – опасное напряжение, соответствующее предельному состоянию материала, полученное при испытании на осевое растяжение

s dan = s y = 20 МПа;

s i – интенсивность напряжения

 

Вычислим допускаемую нагрузку

 


½[(-0,543+3,674)2+(-3,674+8,437)2+(-8,437+0,543)2]=8,57 МПа

 
 


=(20*550)/(1,5*8,57)=855,698 кН

 

 


Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.034 сек.)