Типовой расчет по математической статистике

Известны - значения случайной величины Х - данные выборки объема n=100 из генеральной совокупности – продолжительности эксплуатации нефтяных скважин:

1. Построить группированный ряд.

2. Построить гистограмму частот и относительных частот.

3. Построить вариационный ряд, взяв в качестве середину интервала.

4. Построить полигон частот и относительных частот.

5. Найти эмпирическую функцию распределения.

6. Найти несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии.

7. Найти интервальные оценки матожидания и среднего квадратического отклонения с уровнем доверия .

8. Проверить при уровне значимости гипотезу о нормальном распределении случайной величины Х по критерию Пирсона.

Решение:

1. Объем выборки n=100. Проведем разбиение на 6 интервалов:

Группированный ряд примет вид:

							Примечание
	628-635	635-642	642-649	649-656	656-663	663-670	частичные интервалы
	631,5	638,5	645,5	652,5	659,5	666,5	середина интервала
							частота
	0,03	0,08	0,22	0,39	0,18	0,1	частость (относительная частота)

2. Гистограмма частот и относительных частот.

Дополним таблицу, внеся новые данные:

							Примечание
	628-635	635-642	642-649	649-656	656-663	663-670	частичные интервалы
	631,5	638,5	645,5	652,5	659,5	666,5	середина интервала
							частота
	0,03	0,08	0,22	0,39	0,18	0,1	частость (относительная частота)
							плотность частоты
	0,004	0,011	0,031	0,056	0,026	0,014	плотность относит. част.

Графики:

3. Эмпирическая функция распределения принимает значения:

Например, значения не наблюдались ни разу, значит, при

Значения наблюдаются 3 раза, значит, при

Значения наблюдались 3+8=11 раз, значит, при . И т.д.

График :

4. Полигон частот и относительных частот.

	631,5	638,5	645,5	652,5	659,5	666,5
	0,03	0,08	0,22	0,39	0,18	0,1

Графики:

5. Найти несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии.

Несмещенной оценкой математического ожидания является выборочная средняя:

, несмещенной оценкой дисперсии – исправленная дисперсия:

исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение:

Промежуточные вычисления и результаты для удобства внесем в таблицу:

	631,5	638,5	645,5	652,5	659,5	666,5
	0,03	0,08	0,22	0,39	0,18	0,1
	18,945	51,08	142,01	254,475	118,71	66,65
	18,945+51,08+142,01+254,475+118,71+66,65= =651,87	выборочная средняя
	-20,37	-13,37	-6,37	0,63	7,63	14,63
	1244,8	1430,1	892,7	15,5	1047,9	2140,4
		исправленная дисперсия
		исправленное выборочное среднее

1. Найдем интервальные оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения с уровнем доверия .

Интервальной оценкой мат. ожидания служит доверительный интервал:

где определяем из приложения № 4).

Таким образом, подставив наши данные, получаем интервал

или .

Интервальной оценкой среднего квадратического отклонения служит доверительный интервал:

, т.к. .

Если , то

где

определяем из приложения № 4.

Итак,

или .

1. Проверим при уровне значимости гипотезу о нормальном распределении случайной величины Х по критерию Пирсона.

1) Вычислим теоретические частоты по формуле:

, где

Значения функции определяем по приложению №1.

Для удобства внесем промежуточные значения вычислений в таблицу:

i
	631,5	-2,46	0,0189	1,6
	638,5	-1,62	0,1074	9,1
	645,5	-0,77	0,2966	25,1
	652,5	0,08	0,3977	33,7
	659,5	0,92	0,2613	22,1
	666,5	1,77	0,0833	7,1

Сравним эмпирические и теоретические частоты по критерию Пирсона.

Наблюдаемое значение критерия вычислим по формуле:

i
		1,6	1,4	1,96	1,23
		9,1	-1,1	1,21	0,13
		25,1	-3,1	9,61	0,38
		33,7	5,3	28,09	0,83
		22,1	-4,1	16,81	0,76
		7,1	2,9	8,41	1,18

По таблице критических точек распределения (приложение № 5) по данному уровню значимости и числу степеней свободы к=N-3=6-3=3 (N – число интервалов или групп выборки) находим критическую точку

Так как , то нет основания отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, т.е. эмпирические и теоретические частоты различаются случайно.

Выполнить вариант, совпадающий с номером N студ билета; если , выполнять вариант . Если , выполнять вариант !!!!

Самостоятельно:

1. Построить группированный ряд.

Число интервалов ориентировочно N=1+3.32* lg(n) 8.

Шаг h=(Xmax-Xmin)/N

2. Построить гистограмму частот и относительных частот.

3. Построить вариационный ряд, взяв в качестве середину интервала.

4. Построить полигон частот и относительных частот.

5. Найти эмпирическую функцию распределения.

6. Найти несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии.

7. Найти интервальные оценки матожидания и среднего квадратического отклонения с уровнем доверия .

8. Проверить при уровне значимости гипотезу о нормальном распределении случайной величины Х по критерию Пирсона

Вариант 1.

Данные о пропускной способности 100 участков нефтепровода (м³/сут)

Вариант 2.

Вариант 3

Вариант 4.

Вариант 5.

Вариант 6. Диаметр отверстия при сверлении одним и тем же сверлом (мм): 50+к/100

Вариант 7.

Вариант 8.

Вариант 9. Данные о вводе в эксплуатацию новых газовых скважин за год по различным газодобывающим районам страны:

Вариант 10. Энергетические затраты на 1 м. проходки при разведочном бурении нефтяных скважин в различных нефтеносных районах страны (руб):

Вариант 11

Вариант 12

Вариант 13

Поиск по сайту: