АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Математическое описание импульсных систем

Читайте также:
  1. A) к любой экономической системе
  2. A) прогрессивная система налогообложения.
  3. C) Систематическими
  4. CASE-технология создания информационных систем
  5. ERP и CRM система OpenERP
  6. HMI/SCADA – создание графического интерфейса в SCADА-системе Trace Mode 6 (часть 1).
  7. I СИСТЕМА, ИСТОЧНИКИ, ИСТОРИЧЕСКАЯ ТРАДИЦИЯ РИМСКОГО ПРАВА
  8. I. Основні риси політичної системи України
  9. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ (ТЕРМИНЫ) ЭКОЛОГИИ. ЕЕ СИСТЕМНОСТЬ
  10. I. Суспільство як соціальна система.
  11. I. Формирование системы военной психологии в России.
  12. I.2. Система римского права

Если непрерывные процессы описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, то для описания дискретных процессов используются разностные уравнения.

Разностным уравнением называется уравнение, связывающее ординаты решетчатой функции с их конечными разностями. Значения решетчатой функции времени f (nT) или в сокращенной форме f (n) определяются в дискретные моменты времени t = , где n – целое число, а Т – период повторения. Операция замены непрерывной функции f (t)решетчатой функцией f (n) = f (t)| t=nT показана на рис. 4.5.

 

Рис. 4.5. Решетчатая функция

Ординаты решетчатой функции представляют собой так называемые дискреты исходной непрерывной функции f (t) при t = . Дискреты f (t) могут быть определены и для смещенных моментов времени t = + D Т = (n + e) Т, e = D Т/Т < 1. Смещенная решетчатая функция обозначается f (n + e).

По определению, первая прямая (восходящая) разность или разность первого порядка имеет вид

D x (n) = x (n +1) – x (n).

Вторая разность или разность второго порядка – это разность первых разностей. Поэтому

D2 x (n) = D x (n +1) – D x (n) = x (n +2) – 2 x (n +1) + x (n).

В общем случае имеем

Первая обратная (нисходящая) разность имеет вид

Ñ x (n) = x (n) – x (n –1).

Обратная разность второго порядка

Ñ2 x (n) = Ñ x (n) – Ñ x (n –1) = x (n) – 2 x (n –1) + x (n –2).

В общем случае

Разностное уравнение может быть записано в прямой или обратной разностной формеилив соответствующих формах смещенных решетчатых функций.

При использовании прямых разностей неоднородные линейные разностные уравнения имеют вид

b 0D my (n) + b 1D m -1 y (n) + …+ b m y (n) = f (n),

где f (n) – заданная, а y (n) – искомая решетчатые функции.

С учетом выражений для прямых разностей получим

a 0 y (n+m) + a 1 y (n+m– 1) + …+ a m y (n) = f (n).

Соответствующие уравнения при использовании обратных разностей имеют следующий вид

b 0Ñ my (n) + b 1Ñ m -1 y (n) + …+ bmy (n) = f (n).

a 0 y (n) + a 1 y (n– 1) + …+ a m y (n–m) = f (n).

Пример. Решить уравнение D2 y (n) + 2D y (n) + 2 y (n) = 1(n) с начальными условиями y (0) = 1, y (1) = 0.

D2 y (n) + 2D y (n) + 2 y (n) = y (n +2) – 2 y (n +1) + y (n) + 2 y (n +1) – 2 y (n) + 2 y (n) = 1(n)

y (n +2) + y (n) = 1(n); y (n +2) = 1(n) – y (n)

n = 0: y (2) = 1 – y (0) = 1 – 1 = 0 n = 1: y (3) = 1 – y (1) = 1 – 0 = 1

n = 2: y (4) = 1– y (2) = 1 – 0 = 1 n = 3: y (5) = 1– y (3) = 1 – 1 = 0

Разностные уравнения можно рассматривать как рекуррентные соотношения, позволяющие по уравнению вида (4.1) вычислять значения y (m+n) при n = 0, 1, 2,… при заданных начальных условиях y (0), y (1),..., y (m– 1). Такие вычисления легко алгоритмизировать даже в случае, когда коэффициенты разностных уравнений аi (i = 0, 1,..., m) с течением времени изменяются. Это отличает разностные уравнения от их непрерывных аналогов дифференциальных уравнений.

Для определения и исследования решений разностных уравнений широко используются дискретное преобразование Лапласа, Z -преобразование, w -преобразование, а также частотные методы.

4.1.2 Z- преобразование

Для решетчатых функций времени вводится понятие дискретного преобразования Лапласа

Изображение решетчатой функции F *(p) является функцией величины epT.

Для исследования импульсных систем используется Z- преобразование, которое связано с дискретным преобразованием Лапласа. Под Z- преобразованием понимается изображение несмещенной решетчатой функции, определяемое формулой

Для Z- преобразования используется обозначение F (z) = Z [ f (n)],
где Z – оператор преобразования, z – аргумент преобразования. Операцию Z-преобразования распространяют на производящую функцию f (t) и преобразование Лапласа F (p) производящей функции:

F (z) = Z [ f (t)] или F (z) = Z [ F (p)],

при этом Z [ f (t)] = Z [ f (n)], t = nT; Z [ F (p)] = Z [ f (n)], f (n) = f (t), t = nT,
f (t) = L -1{ F (p)}.

Для смещенных решетчатых функций используется модифицированное Z-преобразование

Обозначается оно как F (z,e) = Z e[ f (n)], Z e[ f (t)], или Z e[ F (p)].

Z -преобразованиепрактически совпадает с дискретным преобразованием Лапласа и отличается от него только изображением аргумента, z = epT.

Отметим несколько важных свойств Z -преобразования.

а. Линейность

Z [ c 1 f 1(n) + c 2 f 2(n)] = c 1 F 1(z) + c 2 F 2(z).

б. Правило упреждения или запаздывания

При нулевых начальных условиях f (0) = f (1) =…= f (m –1) = 0

Z [ f (n+m)] = zmZ [ f (n)] = zmF (z).

с. Правило умножения на аргумент

Это правило позволяет вычислять Z -преобразование (изображение) полиномиальных решетчатых функций.

д. Правило свертки. Если F 1(z) = Z [ f 1(n)] и F 2(z) = Z [ f 2(n)], то

е. Конечные значения. Начальные и конечные значения решетчатой функции определяются в виде

Примеры вычисления Z–преобразования

Рис. 4.6. Примеры решетчатых функций

1. f (n) = 1(n) (рис. 4.6, а)

По определению Z -преобразования

2. f (n) = nT (рис. 4.6, б).

Используя правило умножения на аргумент, найдем

Для смещенной импульсной функции f (n +e) = (n +e) T модифицированное преобразование дает

3. f (n +e) = e -g( n +e) T .

По определению, Z -преобразования

Обозначим d = e -g T:

Для действительных g = a и d = e a T (рис. 4.6, в) Z -преобразование имеет вид

Если g = a + i b комплексное число, то импульсная функция примет вид

f (n +e) = e -a(n +e) Т [ cos b(n +e) Ti∙sin b(n +e) T ]

Отделяя реальную и мнимую части изображения, запишем

Из этой формулы можно получить Z -преобразования основных функций (табл. 4.1). Например, импульсная функция f (nT) = sin b nT (рис. 4.5, г) получается из выражения f (nT) = f (n +e) =
e -a(n +e) Т [ cos b(n +e) Ti∙sin b(n +e) T ] при a = 0, d = 1, e = 0. Соответствующее ей Z -преобразование – есть мнимая часть полученного преобразования при a = 0, d = 1, e = 0, откуда

 

 

Таблица 4.1

Таблица Z-преобразований

f (t) F (p) f (n) F (z) F (z, e)
d(t)   d(n)    
1(t) 1(n)
t ё nT

Решение разностных уравнений с помощью Z-преобразования

Рассмотрим разностное уравнение

a 0 y (n+m) + a 1 y (n+m– 1) + …+ a m y (n) = f (n)

с начальными условиями y (k) = yk, k = 0, 1,…, m– 1.

Найдем Z -преобразование от его левой и правой частей:

a 0 Z { y (n+m)} + a 1 Z { y (n+m– 1)} + …+ amZ { y (n)} = Z { f (n)}.

В соответствии с правилом смещения для случая упреждения на r тактов

Подставляя r = m, m– 1, …, 0 и переходя в уравнении к изображениям, получим

В правой части этого уравнения, кроме изображения F (z) решетчатой функции f (n), находятся члены, определяемые начальными условиями. Сумма их обозначена Y0 (z). Изображение Y (z) искомой решетчатой функции y (n) примет вид

где

Отдельный интерес представляет случай, когда искомая решетчатая функция тождественно равна нулю до момента n = m –1 включительно, y (k) = 0, k = 0, 1,..., m– 1 (эквивалентно случаю нулевых начальных условий при решении дифференциальных уравнений для непрерывных функций). Тогда выражение (4.22) приобретает вид

Остается найти оригинал y (n) = Z -1{ Y (z)}.

Существуют различные методы определения решетчатой функции по ее изображению: использование вычетов, рядов Лорана, таблиц Z -преобразования.

Пример. Решим разностное уравнение y (n +1) – y (n) = 1(n) с начальным условием y (0)=0.

Применим Z -преобразование к обеим частям уравнения и получим

Из таблиц Z -преобразования находим

Следовательно, y (n) = n.

Решить это уравнение легко, используя рекуррентное соотношение

y (n +1) – y (n) = 1(n).

Так как y (0) = 0, то y (1) = y (0) + 1 =1, y (2) = y (1) + 1 = 2 и т. д.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.013 сек.)