АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Формулы численного интегрирования

Читайте также:
  1. II. Приготовление мазка крови для подсчета лейкоцитарной формулы
  2. Аналитическая запись логической формулы КЦУ
  3. Выберем поверхность интегрирования, учитывая симметрию задачи.
  4. Вывод общей формулы обратной матрицы
  5. Вывод формулы Литтла
  6. Выражения. Формулы.
  7. Гироскоп.Вывод формулы частоты прецессии гироскопа.
  8. Глава 3. Мобилизующие формулы
  9. Диффузия в газах. Вязкость газов. Теплопроводность газов. Коэффициенты диффузии, вязкости, теплопроводности. Вывод формулы для коэффициента диффузии.
  10. Закон постоянства состава. Химические формулы
  11. Из формулы (8.4) следует формула Байеса
  12. Инверсия доминирования, доминирование и циклы формулы любви

Заменим подынтегральную функцию, входящую в (2.50), интер­поляционным многочленом Лагранжа нулевой степени, проходя­щим через середину отрезка — точку (рис. 2.5). Пло­щадь криволинейной трапеции можно заменить площадью пря­моугольника, т. е.

 

(2.52)

Формула (2.52) носит название формулы прямоугольников или формулы средних. Ее погрешность составляет:

(2.53)

Разложение функции f(x) в ряд относительно середины отрезка имеет вид:

(2.54)

Подставим выражение (2.54) в (2.53), получим:

(2.55)

При вычислении ошибки интегрирования уничтожился не только первый, но и второй член разложения, что связано с сим­метричным выбором узла интегрирования. И хотя по построению формула точна для многочленов нулевого порядка, выбор сим­метричного узла интерполяции привел к тому, что формула точна для любой линейной функции.

Значение остаточного члена в формуле прямоугольников (2.53) может быть велико, так как разность (b-a) может быть до­статочно большой. Для повышения точности введем сетку.

С достаточно мелким шагом и применим форму прямоугольников на каждом шаге сетки. Тогда получим обоб­щенную формулу прямоугольников:

(2.57)

Величина остаточного члена составляет:

(2.58)

Заменяя в (2.58) сумму интегралом, получим:

(2.59)

Тогда, если обозначить , остаточный член

(2.60)

В том случае, когда функция f(x) задана в виде таблицы, ее значение в середине интервала неизвестно. Это значение нахо­дится, как правило, интерполированием, что приводит к ухудше­нию точности формулы.

В случае таблично заданных функций удобно в качестве узлов интерполяции выбрать начало и конец отрезка интегрирова­ния, т. е. заменить функцию f(x) многочленом Лагранжа первой степени. Имеем:

В этом случае величина интеграла, равная площади криволинейной трапе­ции, приближенно заменяется величи­ной площади трапеции (рис. 2.6). Поэтому получаем:

(2.61)

Имея в виду, что x0=a, x1=b. Эта формула носит название формулы трапеций. При использовании формулы трапеций для оценки погрешности интегрирования вычислением по формулам (2.18). Имеем:

(2.62)

Погрешность формулы трапеций вдвое больше погрешности фор­мулы прямоугольников. Это объясняется тем, что выбор в форму­ле прямоугольников в качестве узла интерполяции симметрично­го узла приводит к повышению ее точности.

Для повышения точности формулы (2.61) введем на отрезке [a,b] сетку:

Подсчитывая значение интеграла для каждого интервала и сум­мируя эти значения, получаем обобщенную формулу трапеций:

(2.63)

Со значение остаточного члена:

Эти формулы упрощаются на сетке с постоянным шагом (i=0,1,…,N-1):

(2.64)

(2.65)

Введем обозначение . На практике пользуются мажорантной оценкой величины остаточного члена:

(2.66)

Таким образом, формула трапеций (как и формула прямоуголь­ников) имеет второй порядок точности относительно шага сетки, и погрешность асимптотически стремится к нулю приh→0 с точностью до членов более высокого порядка малости.

Геометрически формула (1) получается в результате замены графика подынтегральной функции y=f(x) ломаной линии (рисунок 71).

Для повышения порядка точности формулы численного интегрирования заменим подынтегральную кривую параболой — интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени, вы­брав в качестве узлов интерполяции концы и середину отрезка интегрирования: x0=a, , x2=b (рисунок 2.7)

В этом случае, проинтегрировав интерполяционный много­член для равноотстоящих узлов, получим

(2.67)

 

При этом значение остаточного члена оценивая приближенным соотношением:

Формулу (2.67) называют формулой Симпсона.

Как и в предыдущих двух случаях, для повышения точности формулы (2.67) введем сетку с достаточно малым шагом. Сумми­руя значения интегралов, полученных по (2.67) для каждого ин­тервала, получаем обобщенную формулу Симпсона (парабол), ко­торая на равномерной сетке имеет вид:

(2.68)

Введя обозначения:

Формулу (1) можно записать в более простом виде:

А величина остаточного члена:

(2.69)

Таким образом, формула парабол имеет четвертый порядок точности относительно шага сетки. Введем обозначение . Как правило, для оценки величины погрешнос­ти применяют мажорантную оценку:

(2.70)

 

Пример: С помощью формулы Симпсона вычислить интеграл:

приняв n=10.

Решение:

Имеем 2m=10. Отсюда

Результаты вычислений приведены в таблице 67.

Вычисление интеграла по формуле Симпсона (таблица 67)

i xi y2j-1 y2j
      y0=1,00000
  0,1 0,90909  
  0,2   0,83333
  0,3 0,76923  
  0,4   0,71429
  0,5 0,66667  
  0,6   0,62500
  0,7 0,58824  
  0,8   0,55556
  0,9 0,52632  
  1,0   0,50000=yn
  3,45955 ( 1) 2,72818 ( 2)

По формуле получаем:

(3)

Подсчитаем погрешность результата (3). Так как

,

То:

Отсюда:

при

И, следовательно:

Значит:

I=0,69315±0,000013

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.009 сек.)