АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Площадь криволинейного сектора в полярных координатах

Читайте также:
  1. IV Вычислить площадь фигуры
  2. В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени с двумя переменными и обратно: каждое уравнение первой степени
  3. Виды НКО и концепции третьего сектора
  4. Вычислите площадь поверхности цилиндра, если диаметр основания равен 12 см, высота 3,5 см.
  5. Диагностика биполярных аффективных расстройств.
  6. Длина дуги кривой в полярных координатах
  7. Единицами и секторами рыночной экономики
  8. Жилая площадь в районе определяется по формуле
  9. Итоги приватизации в важнейших секторах российской экономики
  10. Кейнсианская модель государственного сектора экономики: государственные закупки, налоги, трансфертные платежи.
  11. Конструкция некоторых биполярных транзисторов
  12. Листинг 10.6. Измерение угла между секторами (копия)

Рассмотрим криволинейный сектор ограниченный линией, заданной уравнением в полярных координатах, лучами

Сектор разобьем произвольным образом на частичных секторов обозначим через Каждый из частичных секторов заменим круговым сектором с радиусом где значение угла из промежутка и центральным углом Площадь последнего сектора выражается формулой:

Сумма

Выражает площадь ступенчатого сектора (веерообразной фигуры), аппроксимирующего данный сектор

Площадью сектора называется предел площади ступенчатого сектора при

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда: где положительное число.

Круг радиуса имеет площадь т.е. площадь площади круга с радиусом, равным наибольшему из полярных радиусов витка. К этому выводу пришел еще Архимед.

Длина дуги кривой в прямоугольных координатах

Пусть в прямоугольных координатах на плоскости дана кривая уравнением Найдем длину дуги этой кривой. Возьмем на дуге точки с абсциссами

и проведем хорды

длины которых обозначим соответственно через Тогда получим ломаную вписанную в дугу Длина ломаной равна

Длиной дуги называется тот предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина ее наибольшего звена стемится к нулю:

Мы докажем сейчас, что если на отрезке функция и ее производная непрерывны, то этот предел существует. Вместе с тем будет дан и способ вычисления длины дуги.

Введем обозначения:

Тогда По теореме Лагранжа имеем:

где Следовательно,

Таким образом,

По условию непрерывна, следовательно, функция тоже непрерывна. Поэтому существует предел написанной интегральной суммы при условии, что (а значит и который равен определенному интегралу:

.

Итак, получили формулу для вычисления длины дуги:

Найдем теперь длину дуги кривой в том случае, когда уравнение кривой задано в параметрической форме:

где и непрерывные функции с непрерывными производными, причем на

В этом случае эти уравнения определяют некоторую функцию непрерывную и имеющую непрерывную производную

Пусть Тогда, сделав в интеграле (7) подстановку получим:

Если задана пространственная кривая параметрическими уравнениями

то если непрерывны и имеют непрерывные производные на то

(без доказательства).


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)