АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Читайте также:
  1. II. Основные задачи и функции
  2. III. Предмет, метод и функции философии.
  3. IV. Конструкция бент-функции
  4. Ms Excel: мастер функций. Логические функции.
  5. Root(Выражение, имя переменной)
  6. V2: ДЕ 29 - Введение в анализ. Предел функции на бесконечности
  7. V2: ДЕ 32 - Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная
  8. V2: ДЕ 35 - Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производные высший порядков
  9. V2: ДЕ 39 - Интегральное исчисление функции одной переменной. Приложения определенного интеграла
  10. V2: Функции исторической науки
  11. VIII. ФУНКЦИИ НАУЧНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
  12. XVIII. ПРОЦЕДУРЫ И ФУНКЦИИ

 

26. Понятие функции. Способы задания функции. Свойства функций. Обратная функция.

 

Пусть x, y ≠ 0. Функция – соответствие f, по которому любой x, принадлежащий множеству X сопоставлено единственному y, принадлежащему множеству Y. y = f(x)

Способы задания функции:

1) Аналитический

2) Табличный

3) Графический

4) Словесный

 

Свойства функции:

1) чётность/нечётность чётная (симметрична относительно Oy), если f(-x) = f(x);

нечётная (симметрична относительно начала координат), если f(-x) = -f(x)

2) Возрастание\убывание

3) Ограниченность. f(x) ограничена, если существует M > 0, такое, что f(x) < M (или f(x) > M, если ограничена снизу) при любом x.

4) Периодичность. Функция f(x) называется периодической с периодом T > 0, если f(x) = f (x + T), при любом x.

 

Пусть X – область определения, а Y – область значений функции f. Если для любого y из области значений существует единственный x, принадлежащий области определения, то говорят, что определена обратная функция к y = f(x) (f-1)

Любая монотонная функция обладает обратной функцией.

Геометрический смысл: Функция и обратная к ней функция симметрична относительно y = x.

 

27. Основные элементарные функции и их графики.

1)

1) y = xn, n > 1

 

 

2) y =

3) y = , n > 1

 

2) y = ax

1) a >1

2) 0 < a < 1

 

 

3) y = log a x

 

1) a > 1

2) 0 < a < 1

4) y = sin x, cos x, tg x, ctg x

 

 

 

5) y = arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x

 

 

6) y = ex

 

28. Предел числовой последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые числовые последовательности. Свойства бесконечно малых.

Число а называется пределом числовой последовательности xn, если любой E-определенности > 0 существует N, меньшее любой n => |xn-a|< E-определённости, т.е. xn принадлежит E -определенности.

 

Последовательность {αn} называется бесконечно малой, если = 0

Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если { } – бесконечно малая

 

Свойства бесконечно малых:

1) αn + n – бесконечно малая

2) αn * n – бесконечно малая

3) αn * с – бесконечно малая, c – действительное число

4) αn * n – бесконечно малая, xn – ограниченная

 

 

29. Основные теоремы о пределах последовательностей.

1) Если предел последовательности существует, то он единственный

2) Сходящаяся последовательность ограничена.

Следствие: Если последовательность не ограничена, то она расходящаяся.

3) A = <=> xn = A + αn, где αn - бесконечно малая.

4) Теорема о милиционерах: Пусть существует = a. Существует = a

αn <= xn <= n, любое n.

Тогда = a

 

30. Первый и второй замечательные пределы. Число е.

Первый замечательный предел: αnбесконечно малая, то = 1

Второй замечательный предел: )n = e

 

Число «e» (2,718...) —иррациональное. Вычисляется с помощью следующего ряда:

Число e есть предел выражения

 

 

 

31. Предел функции. Основные теоремы о пределах функций.

Число A называется пределом функции f(x) в точке x = a (или при x -> a), если всякая окрестность > 0

A =

Теоремы:

1) Предел постоянной равен самой постоянной

2) Постоянный множитель можно выносить за знак предела: = k *

3) Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов этих функций: = ±

4) Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций:

= *

5) Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если только предел делителя не равен нулю: = , ≠ 0

 

 

32. Замечательные пределы для функций.

1) = 1

Доказательство: Из доказательства замечательного предела для последовательности имеем 1 ≤ cos αn

1 ≥ ≥ cos x

По теореме о милиционерах в силу = 1 получаем = 1

 

2) = e

Доказательство: n = [x] – целая часть x. Рассмотрим случай x --> +∞, x > 0

n ≤ x < n + 1 => < => 1 + < 1 + ≤ 1 +

Возводим в степень n ≤ x < n + 1

< (1 +

= =

 

= = (1 + ) = e * 1 = e

по теореме о милиционерах:

= e

 

Рассмотрим случай x --> -∞

= [t = -x] = = = = = * = e*1 = e

 

 

33. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.

Сравнение бесконечно малых:

1. Если = А (А – действительное число ¹ 0), то α и ß называются бесконечно малыми одного порядка.

2. Если = 0, то α называется бесконечно малой более высокого порядка, чем ß.

3. Если = ∞, то α называется бесконечно малой более низкого порядка, чем ß.

4. Если не существует, то α и ß называются несравнимыми бесконечно малыми.

 

Функция f(x) называется бесконечно малой при x --> a, если = 0.

 

Если = 1, то α и ß называются эквивалентными бесконечно малыми (α ~ ß)

Теорема: Сумма бесконечно малых эквивалентна бесконечно малой более низкого порядка из этой суммы.

 

Таблица эквивалентных бесконечно малых:

1. sin x ~ х

2. tg x ~ х

3. arcsin х ~ х

4. arctg x ~ х

5. 1 - cos x ~ x2/2

6. ех – 1 ~ х

7. αх – 1 ~ х*ln(a)

8. ln(1+х) ~ х

9. loga(l+х) ~ х•logaе

10. (1+х)k – 1 ~ k*х, k > 0

 

 

34. Непрерывные функции. Классификация точек разрыва.

Функция f(x) называется непрерывной в точке xo, если:

1) f(x) определена в окрестность xo

2) существует = f(x0)

Замечание 1: условие 2 эквивалентно = f( )

Замечание 2: обозначим через ∆f (xo) = f (xo + ∆x) – f(xo) приращение функции f(x) при приращении аргумента ∆x = x - xo

Тогда определение 1 перепишется в виде: = 0

Точка x0, в которой нарушается непрерывность, называется точкой разрыва.

 

Точка разрыва x0 называется точкой разрыва 1-го рода функции f(x), если выполнено хотя-бы одно из условий:

1) Существует = A + < ∞

Существует = A - < ∞

A + = A - => точка устранимого разрыва

2) A + ≠ A - => x0 точка конечного разрыва

 

Если хотя-бы один из пределов или не существует, или бесконечен, то точка x0 называется точкой разрыва 2-го порядка.

 

 

35. Свойства непрерывных функций. Основные теоремы о непрерывных функциях.

Свойства функций, непрерывных в точке:

1) Сумма, разность и произведение двух функций, непрерывных в точке x = a, непрерывны в этой точке.

2) Если функция f(x) непрерывна при некотором значении x, то приращение функции бесконечно мало при бесконечно малом приращении аргумента.

 

Свойства функции, непрерывных на замкнутом промежутке:

1) Среди значений, которые принимает функция f(x) в точках незамкнутого промежутка (a,b), может не быть наибольшего или наименьшего.

2) Если m есть значение функции f(x) при x = a и n – значение f(x) при x=b, то функция f(x) принимает внутри промежутка (a,b) по крайней мере по одному разу всякое значение p, заключенное между m и n.

3) Если переменные x и x` изменяются так, что разность x – x` бесконечно малая, то разность f(x) – f (x`) тоже бесконечно малая.

 

Теоремы:

1) Если f(x), g(x) – непрерывны в x0, то c*f(x), где c – действительное число, f(x) + g(x), f(x)*g(x), (g(x0) ≠ 0), - непрерывные функции в x0

Если y = f(u) – непрерывна в u0, u = (x) – непрерывна в x0, (x0) = uo, то композиция функции y = f( (x)) непрерывна в xо

2) Все элементарные функции непрерывны в своей области определения

3) Функция, непрерывная на отрезке достигает своего минимума и максимума значений

4) Функция, непрерывная на отрезке принимает все промежуточные значения

f(a) = A, f(b) = B, A<B, f(x) – непрерывна на [a,b] =>любое c принадлежит [A,B] => существует x0 принадлежит [a,b] f(x0) = c

 

 

36. Определение производной, ее геометрический смысл.

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки xо и существует конечный предел отношения. Тогда этот предел называется производной функции в точке xо

 

Тангенс угла наклона касательной (угловой коэффициент наклона касательной), проведенной к графику функции y = f(x) в точке xo равен производной функции

y = f(x) в этой точке:

 

 

37. Дифференцируемость и непрерывность. Правила дифференцирования.

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке xo , если ее приращение Δy в точке xo может быть представлено в виде: Δy = A*Δx + α(Δx) * Δx, где A - некоторое число, независящее от Δx, а α(Δx)-- бесконечно малая функция от переменной Δx, т.е. = 0.

Теорема
Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке xo, необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела конечную производную.

 

Говорят, что функция f (x) является непрерывной в точке a (a – действительное число), если для любой последовательности {xn}, такой, что

выполняется соотношение

 

Правила дифференцирования:

1) (c*f(x))` = c * f `(x)

2) (f(x) ± g(x))` = f `(x) ± g` (x)

3) (f(x) * g(x))` = f `(x) * g (x) + f (x) * g`(x)

4) )` =

 

38. Производная сложной функции, функции, заданной неявно, заданной параметрически, обратной функции.

Пусть y=f(u) – дифференцируема в uo, u=g(x)- дифференцируема в xo, uo = g(xo), тогда сложная функция y = f(g(x)) дифференцируема в xo и y`= f `(g(x)*g`(x))

 

Функция задана неявно, если она задана уравнением f(x,y) = 0 не разрешённым относительно y.

Для нахождения производной y`x от неявно заданной функцией F(x,y) = 0 достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривать y, как функцию от x и полученное уравнение решить относительно y`.

 

Пусть x(t), y(t) – дифференц, ф x(t) имеет обратную функцию t = t(x). Тогда y` = y(t(x))

y`x = y`t * t`x =

 

Пусть функция имеет в точке производную . Тогда обратная функция имеет в соответствующей точке производную , которую можно отыскать по формуле

 

39. Производные основных элементарных функций.

40. Дифференциал. Формула df(x) = f `(x)dx.

Если приращение функции ∆f(x) = A*∆x + 0(∆x), где A=const, 0(∆x) – бесконечно малая, более высокого порядка, чем ∆x, то говорят, что f(x) имеет дифференциал в точке x и он равен главной линейной части приращения A*∆x.

 

Теорема: если f(x) дифференцируема в точке x, то df(x) = f `(x)dx

Доказательство:

∆f(x) = A*∆x + 0 (∆x)

= A +

f `(x) = = = A, т.е. A = f `(x)

df(x) = f `(x)*∆x

возьмём f(x)= x

dx = x`∆x = ∆x, т.е. ∆x = dx

df(x) = f `(x)dx

из формулы f `(x) =

 

 

41. Производные и дифференциалы высших порядков.

Производной n -го порядка от функции называется производная от производной (n - 1)-го порядка:

Производная второго порядка:

 

df(x) = f `(x)dx

d2f(x) = d (df(x)) = d(f `(x)dx) = (f `(x)dx)`dx = f ``(x)dx dx + f `(x)(dx)`dx = f ``(x)(dx)2

f ``f(x) = d(dn-1 f(x))

Формула для вычисления дифференциала n–го порядка

 

  dn f(x) = f(n) (x) dxn.

 

42. Теорема Ферма. Теорема Ролля.

Теорема Ферма: Пусть f(x) непрерывная функция на [a,b], xo принадлежит [a,b] – точка экстремума, существует f `(xo). Тогда f `(xo) = 0

Доказательство: Пусть xo – точка максимума => существует b > 0: f(x) ≤ f(xo). Любой x принадлежит (xo – b, xo + b)

Если x принадлежит (xo – b, xo), то ∆x = x – xo ≤ 0

= ≥ 0

Если x принадлежит (xo; xo + b), то ∆x ≥ 0

= ≤ 0

т.к. существует f `(x), то существует = f `(xo) ≤ 0

существует = f `(xo) ≥ 0

=> f `(xo) = 0.

 

Теорема Ролля: Если f(x) – непрерывна на отрезке [a,b], f(a) = f(b), f(x) – дифференцируема на (a,b), то существует xo, принадлежащий [a,b]: f `(xo) = 0

Доказательство: т.к. f(x) – непрерывна на [a,b], то по теореме о непрерывных функциях существует максимальное M и минимальное m значение f(x). Если m=M, то f(x)=const. f `(x) = 0.

43. Теорема Лагранжа и следствия из нее. Теорема Коши.

Теорема Лагранжа: Если f(x) – непрерывна на [a,b], f(x) – дифференцируема на (a,b), то существует xo, принадлежащий (a,b): f(b) – f(a) = f `(xo)(b - a)

 

Следствие 1: Если f `(x) = 0 любой x, принадлежащий [a,b], то f(x) = const.

Следствие 2: Если для любого x, принадлежащего (a,b) значение производной > 0, то эта функция возрастает на интервале (a,b). Если значение производной < 0, то убывает.

Следствие 3: Пусть X - некоторый промежуток, и значения производной на этом промежутке ограничены числом C: |f `(x)| ≤ C. Тогда функция f(x) равномерно непрерывна на данном промежутке.

 

Теорема Коши: Если f(x), g(x) – непрерывны на [a,b]. f(x), g(x) дифференцируемы на (a,b) g`(x) ≠ 0, любой x принадлежит (a,b), то существует xo, принадлежащее (a,b): =

44. Правило Лопиталя.

Раскрытие неопределённостей [ ],[ ] в пределах.

Теорема: Пусть g(x), f(x) – неопределённости на [a,b] и дифференцируемы на (a,b). Если выполнено одно из условий:

1) = = 0;

2) = = ∞, причём существует < ∞.

То существует

 

Замечание 1: Если f `(x) и g`(x) удовлетворяют условию теоремы Лопиталя, то можно повторно применить эту теорему.

Замечание 2: Теорема Лопиталя верна и для случая x --> ∞

45. Возрастание и убывание дифференцируемой функции. Необходимые и достаточные условия.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.036 сек.)