АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Ортогональные системы векторов. Метод ортогонализации

Читайте также:
  1. I этап Подготовка к развитию грудобрюшного типа дыхания по традиционной методике
  2. I. ГИМНАСТИКА, ЕЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
  3. I. Методические основы
  4. I. Методические основы оценки эффективности инвестиционных проектов
  5. I. Предмет и метод теоретической экономики
  6. I. Формирование системы военной психологии в России.
  7. I. Что изучает экономика. Предмет и метод экономики.
  8. I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА
  9. II. Метод упреждающего вписывания
  10. II. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
  11. II. Методы непрямого остеосинтеза.
  12. II. Органы и системы эмбриона: нервная система и сердце

Определение 1. Векторы х и у называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Если вектор х ортогонален вектору у, то пишут х ^ у.

Для ортогональных векторов х и у справедливо равенство («теорема Пифагора»):

| х + у |2 = | х |2 + | у |2. (1)

В самом деле, учитывая, что (х, у) = 0, получим

| х + у |2 = (х + у, х +у) = (х, х) + 2(х, у) + (у, у) = | х |2 + | у |2. Что и требовалось доказать.

Определение 2. Система векторов х 1,…, х s называется ортогональной, если все ее векторы попарно ортогональны, то есть (х i, x j) = 0 при i ¹ j, i, j = 1,…, s.

Отметим, что для ортогональной системы векторов x 1,… x s справедлива «обобщенная теорема Пифагора», то есть выполняется равенство

| x 1+ x 2+…+ x s |2 = | x 1|2 + | x 2|2 +…+ | x s |2. (2)

Доказательство этого равенства проводится обычным вычислением по аналогии с доказательством равенства (1).

Теорема 1. Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

Доказательство. Для ортогональной системы векторов x 1,…, x s составим равную нулю линейную комбинацию

a1 x 1+a2 x 2+…+a s x s = 0 (3)

и покажем, что линейная комбинация здесь может быть только тривиальной. В самом деле, умножив скалярно обе части (3) на вектор х i, где i = 1,2,…, s, получим

a1(x 1, x i) + a2(x 2, x i)+…+a i (x i, x i) +…+ a s (x s, x i) = (0, x i), (4)

откуда следует, что a i | x i |2 = 0, а так как | x i | ¹ 0, то a i = 0 для всех i = 1,2,…, s, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Пусть x 1,…, x s – базис линейной оболочки L = < x 1,…, x s >. Тогда в L существует ортогональная система векторов y 1,…, y s, являющаяся базисом L.

Доказательство. Будем строить ортогональную систему векторов y 1,…, y s следующим образом: положим у 1 = х 1. Будем искать у 2 в виде

у 2 = у 1 + х 2. (5)

Подберем число так, чтобы вектор у 2 был ортогонален вектору у 1. Для этого умножим обе части равенства (5) скалярно на у 1. Так как мы считаем, что (у 1, у 2) = 0, то получим 0 = (у 1, у 1) + + (у 1, х 2). Поскольку (у 1, у 1) ¹ 0, число найдется из этого равенства единственным образом.

Вектор у 3 будем искать в виде

у 3 = у 1+ у 2 + х3, (6)

подбирая числа так, чтобы вектор у 3 был ортогонален и вектору у 1, и вектору у 2. Для этого умножим скалярно равенство (6) сначала на у 1, а затем на у 2 . Учитывая, что (у 1, у 3) = 0, (у 2, у 3) = 0, получим

0 = (у 1, у 1) + (х 3, у 1), 0 = (у 2, у 2) + (х 3, у 2). (7)

Из равенств (7) числа найдем единственным образом, так как (у 1, у 1) ¹ 0, (у 2, у 2) ¹ 0.

Полагая, что векторы у 1,…, у k построены, будем искать вектор у k+ 1 в виде

y k+ 1 = y 1+ y 2 +…+ y k + x k+ 1. (8)

Для нахождения числа умножим скалярно обе части равенства (8) на вектор у i, где i = 1,…. k. Тогда из равенства 0 = (y i, y i) + + (y i, x k+ 1) найдем числа для i = 1,… k.

Продолжая процесс, построим ортогональный базис линейной оболочки L. Теорема доказана.

Описанный при доказательстве теоремы процесс построения ортогональной системы векторов называется методом ортогонализации Щмидта.

Следствие. В векторном пространстве существует ортогональный базис.

Определение 3. Вектор х называется нормированным или единичным, если его длина равна единице. Переход от вектора х к единичному вектору e = называется нормированием. Ортогональнаясистема нормированных векторов называется ортонормированной.

Заметим, что если ортогональная система векторов y 1,…, y n является базисом пространства V, то, нормируя векторы у 1,…, у п, получим ортонормированный базис е 1, …, е п пространства. Для ортонормированного базиса е 1,…, е п справедливо соотношение

(е i, e j) = d ij, (9)

где d ij - символ Кронекера, принимающий значение 1 при i = j и 0 при i ¹ j.

Теорема 3. Базис е 1,…, е п ортонормирован тогда и только тогда, когда для любых векторов х = e i и y = e j скалярное произведение вычисляется по формуле

(х, у) = . (10)

В самом деле, используя свойства скалярного произведения, имеем

(х, у) = ( е i, e j) = (e i, e j). (11)

Отсюда ясно, что необходимым и достаточным условием выполнения равенства (10) является условие (9), то есть чтобы базис был ортонормированным.

В заключение заметим, что в алгебре рассматриваются не только ортогональные векторы, но и ортогональные подпространства: подпространство L 1 называется ортогональным подпространству L 2, если " х Î L 1 и " у Î L 2 выполнено (x, y) = 0.

Введем еще одно определение.

Определение 4. Ортогональным дополнением для подпространства L называется множество L ^ всех векторов, ортогональных L, то есть

L ^ = { x ÎE| (x, y) = 0, " y Î L }.

Нетрудно убедиться, что L ^ является подпространством и что E = L Å L ^.

Пример. Если L - подпространство, а x = y + z, где y Î L, а z Î L ^, то y называется ортогональной проекцией, а z - ортогональной составляющейвектора x. Пусть x = (5, 2, -2, 2), L = á e 1, e 2 ñ, где e 1 = (2, 1, 1, -1), e 2= (1, 1, 3,0). Найти ортогональную составляющую и ортогональную проекцию вектора x на L.

Решение. Положим y = a e 1 + b e 2, тогда x = a e 1+ + b e 2 +z.

Найдем коэффициенты разложения. Для этого левую и правую части равенства умножим скалярно на е 1, а затем на е 2.

Получим систему линейных уравнений:

(х, е 1 ) = a(e 1, е 1) + b(e 2, е 1) + (z, е 1 ),

(х, е 2 ) = a(e 1, е 2) + b(e 2, е 2) + (z, е 2 ),

в которой последнее слагаемое в обоих уравнениях обращается в ноль, так как z ^ L.

Вычислим скалярные произведения: (х, е 1 ) = 8, (х, е 2 ) = 1, (e 1, е 1) = 7, (e 1, е 2) = 6, (e 2, е 2) = 11. Решая систему уравнений, получаем a = 2, b = -1.

Тогда y = 2 e 1 - e 2 = (3, 1, -1, -2)ÎL,

z = x – y = (2, 1, -1, 4) ^ L.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)