АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Действия над матрицами. Две матрицы и называются равными, А=В, если их соответствующие элементы равны, т.е

Читайте также:
  1. ACCSUNIT (С. Права на действия в каталогах)
  2. I. ПРОБЛЕМЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРИРОДЫ И ОБЩЕСТВА
  3. II. Пути противодействия психологическому воздействию противника.
  4. IV. Определите, какую задачу взаимодействия с практическим психологом поставил перед собой клиент.
  5. V2: ДЕ 4 – Линейные отображения. Линейные операции над матрицами
  6. VI Обжалование решений, действий (бездействия) таможенных органов и их должностных лиц
  7. VI. Срок действия служебного контракта
  8. VII. По степени завершенности процесса воздействия на объекты защиты
  9. АВТОМАТИЧЕСКИЕ ВЕСОВЫЕ ДОЗАТОРЫ НЕПРЕРЫВНОГО ДЕЙСТВИЯ
  10. АВТОМАТИЧЕСКИЕ ВЕСОВЫЕ ДОЗАТОРЫ ПОРЦИОННОГО ДИСКРЕТНОГО ДЕЙСТВИЯ
  11. Аккультурация в межкультурных взаимодействиях
  12. Активность и степень воздействия на другие государственные орга-

Две матрицы и называются равными, А = В, если их соответствующие элементы равны, т.е. = ,

Суммой двух матриц и называется матрица C=A+B, элементы которой сij равны сумме соответствующих элементов aij и bij матриц A и B, т.е. . Например,

, , .

Для суммы матриц справедливы следующие свойства:

1. A + B = B + A – коммутативность;

2. A+(B+C)=(A+B)+C – ассоциативность;

3. A + О = A.

Произведением матрицы на число называется матрица , элементы которой равны произведению соответствующих элементов матрицы A на число , т.е. . Например, если , а матрица , то .

Пусть A, B, C – матрицы, – числа. Из определения произведения матрицы на число вытекают следующие свойства:

1. , 4. ,

2. , 5. ,

3. О, 6. .

Матрица называется противоположной матрице A.

Если матрицы A и B одинаковых размеров, то их разность равна .

Произведением матрицы A=(aij) порядка на матрицу порядка называется матрица порядка , элементы которой с равны:

, (; ).

Из определения произведения матриц следует: чтобы получить элемент, стоящий на пересечении i- ой строки и j- го столбца матрицы С, необходимо элементы i- ой строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j- го столбца матрицы В и полученные произведения сложить.

Произведение АВ имеет смысл тогда и только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

В результате получится матрица, у которой число строк совпадает с числом строк первого сомножителя, а число столбцов – с числом столбцов второго сомножителя.

Для произведения матриц справедливы следующие свойства:

 

1. A(BC) = (AB)C 3. (A + B)C = AC + BC
2. (AB) = ( A)B 4. C(A+B) = CA + CB

 

Эти свойства легко доказываются на основе соответствующих определений.

Произведение двух матриц некоммутативно, т.е. в общем случае АВ ВА. В случае прямоугольных матриц легко подобрать примеры, когда одно из этих произведений не будет существовать из-за невыполнения условия равенства числа столбцов сомножителя, стоящего первым, числу строк второго сомножителя. Очевидно, что для квадратных матриц порядка n существуют АВ и ВА. Однако для всех n, начиная с n =2, можно привести примеры некоммутативных (неперестановочных) матриц.

Пример. Найти произведение АВ и ВА матриц:

А = , В = .

Решение.

;

Пример. Найти произведение матриц А и В.

, .

Решение.

Если АВ = ВА, то матрицы и В называются коммутативными. Так, например, единичная матрица Е коммутативна с любой квадратной матрицей того же порядка, причем АЕ = ЕА = А.

Скалярная матрица может быть представлена в виде произведения элемента матрицы, стоящего на ее главной диагонали, на единичную матрицу того же порядка:

А = Е.

Легко видеть, что произведение любой квадратной матрицы на скалярную матрицу того же порядка коммутативно.

Квадратную матрицу А можно возвести в степень n, для чего ее надо умножить на саму себя n раз, т.е. .

Транспонирование матрицы – это такое преобразование, при котором строки заменяются соответствующими столбцами:

Транспонированная матрица обладает следующими свойствами, которые следуют из определения:

1. (А ) =А;

2. (А+В) +B ;

3. (AB) =B A .

Если матрица А – симметрическая, то А =А, т.е. симметрическая матрица совпадает со своей транспонированной.

Очевидно, что произведение С=АА представляет собой симметрическую матрицу. Действительно,

С = (АА ) =(А ) А =АА =С.

При этом А может быть и прямоугольной матрицей произвольного порядка, С же будет квадратной, порядка, соответствующего числу строк матрицы А.

В различных приложениях используется понятие нормы матрицы.

Под нормой матрицы А= понимается действительное число ||A||, удовлетворяющее условиям:

а) ||A|| 0, причем ||A|| = 0 тогда и только тогда, когда А= О;

б) || A||=| | ||A||, ( – число) и, в частности ||-A||=||A||;

в) ||A+B|| ||A||+||B||;

г) ||AB|| ||A|| ||B||,

где А и В – матрицы, для которых соответствующие операции имеют смысл.

Для матрицы А=(а ) произвольного типа рассматриваются главным образом три вида норм:

1) ||A|| = (m – норма);
2) ||A|| = (l – норма);
3) ||A|| = (k – норма).

 

Все они удовлетворяют перечисленным выше условиям.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)