АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Теорема Лапласа. 1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А

Читайте также:
  1. S-M-N-теорема, приклади її використання
  2. Б1 1.Системы линейных алгебраических уравнений (СЛУ). Теорема Кроникера-Капелли. Общее решение СЛУ.
  3. Базисный минор и ранг матрицы. Теорема о базисном миноре
  4. Билет 22Понятие евклидова пространства, неравенство Коши-Буняковского. Теорема Кронекера Капелли.
  5. Билет 5 Теорема Безу и следствия из неё. Основная теорема алгебры.
  6. Вектор индукции магнитного поля. Закон Био - Савара – Лапласа
  7. Внешние эффекты (экстерналии). Теорема Коуза.
  8. Внешние эффекты трансакционные издержки. Теорема Коуза
  9. Внешние эффекты, их виды и последствия. Теорема Коуза
  10. Внешние эффекты. Теорема Коуза.
  11. Внешние эффекты. Теорема Коуза.
  12. Вопрос 1 теорема сложения вероятностей

Доказательство.

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А->А* не изменяют ранга.

2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

 

 

6. Определителем матрицы А (определителем n-го порядка) называется алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. При этом произведение берётся со знаком «+», если подстановка из индексов входящих в него элементов чётная, и со знаком «-» в противном случае.

10. При транспонировании определитель не меняется (напомним, что транспонирование матрицы и определителя означает перемену строк и столбцов местами).

20. Если все элементы строки (или столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

30. Если все элементы какой-нибудь строки определителя имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

40. Если две строки определителя поменять местами, то определитель сменит знак.

50. Если две строки определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

60. Если в определителе все элементы к-ой строки есть суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в которых все строки, кроме к-ой, такие же как и в данном определителе. На месте элементов к-ой строки одного из них стоят первые слагаемые элементов к-ой строки данного определителя, а на месте элементов к-ой строки второго – вторые их слагаемые.

70. Если к одной строке определителя прибавить другую его строку, все элементы которой умножены на одно и то же число, то определитель не изменится.

80. Дополнительный минор и алгебраическое дополнение не зависит от того, какой элемент стоит в к-ой строке и р-ом столбце определителя.

Теорема Лапласа

Пусть выбраны любые строк матрицы . Тогда определитель матрицы равен сумме всевозможных произведений миноров -го порядка, расположенных в этих строках, на их алгебраические дополнения.

где суммирование ведётся по всевозможным номерам столбцов

 

7. Диагональные и треугольные матрицы[править | править вики-текст]

Если все элементы вне главной диагонали нулевые, A называется диагональной. Если все элементы над (под) главной диагональю нулевые, A называется нижней (верхней) треугольной матрицей.

 

Симметричные и кососимметричные матрицы[править | править вики-текст]

Квадратная матрица A, совпадающая со своей транспонированной, т.е., A = A T, называется симметричной. Если же, A равна минус транспонированной, т.е., A = − A T, A называется кососимметричной. В случае комплексных матриц симметрия часто заменяется понятием самосопряжённости, и в этом случае требуется, чтобы выполнялось A = A, где звёздочка означает сопряжено-транспонированную матрицу, т.е транспонированную сопряжённой к A.

По спектральной теореме для вещественных симметричных матриц и комплексных Эрмитовых матриц существуют базисы, состоящие из собственных векторов. То есть, люой вектор пространства можно представить в виде линейной комбинациисобственных векторов. В обоих случаях все собственные значения вещественны.[1] Эту теорему можно распространить на бесконечномерный случай, когда матрицы имеют бесконечно много строк и столбцов.

 

 

8.

Вычтем из последнего столбца предпоследний, уможенный на , из -го — -й, уможенный на , из -го — -й, уможенный на и так далее для всех стобцов. Эти преобразования не меняют определитель матрицы. Получим

Раскладывая этот определитель по элементам первой строки, получаем, что он равен следующему определителю:

Для всех от 1 до вынесем из -й строки множитель . Получим

Подставим значение имеющегося в предыдущей формуле определителя, известного из индукционного предположения:

 

 

9. Минором к элементу определителя -го порядка называется определитель -го порядка, полученный из исходного вычеркиванием -той строки и -того столбца.

 

Алгебраическим дополнением к элементу определителя -го порядка называется число

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)