АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Читайте также:
  1. A) линейные
  2. I I. Тригонометрические уравнения.
  3. V2: ДЕ 11 - Векторные пространства. Линейные операции над векторами
  4. V2: ДЕ 4 – Линейные отображения. Линейные операции над матрицами
  5. V2: ДЕ 5 - Линейные отображения. Умножение матриц
  6. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  7. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  8. V2: ДЕ 6 - Линейные отображения. Определители второго порядка
  9. V2: Применения уравнения Шредингера
  10. V2: Уравнения Максвелла
  11. VI Дифференциальные уравнения
  12. Абстрактные линейные системы

Определение 3. Уравнение вида

, (3)

где y – искомая функция, а p и q - вещественные числа, f(x) – непрерывная функция, называется линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение уравнения (3) представляет собой сумму частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения. Нахождение общего решения однородного уравнения рассмотрено в предыдущем разделе. Для нахождения частного решения воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

Рассмотрим различные виды функции f(x), входящей в правую часть уравнения (3).

 

1). Правая часть имеет вид

f(x) = Pn(x),

где Pn(x) – многочлен степени n.

 

Тогда частное решение y2 – можно искать в виде y2 = Qn(x) xr, где Qn(x) – многочлен той же степени, что и Pn(x), а r – число корней характеристического уравнения, равных нулю.

Пример 11.

Найти общее решение уравнения

.

Решение.

Вначале решаем однородное уравнение

.

Составляем характеристическое уравнение

.

Находим корни характеристического уравнения

.

Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид

,

где С1 и С2 – постоянные величины.

Так как ни один из корней характеристического уравнения не равен нулю, то частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

,

где A и B – постоянные величины.

Дважды дифференцируем y1(x)

и подставляем в данное уравнение

,

получаем уравнение

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства:

, .

Решаем полученную алгебраическую систему уравнений:

.

Следовательно, частное решение неоднородного уравнения имеет вид

.

Общее решение неоднородного уравнения складывается их общего решения однородного уравнения и частного решения однородного уравнения.

Таким образом, получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

.

 

2). Правая часть имеет вид

 

f(x) = eax Pn(x),

где Pn(x) – многочлен степени n.

 

Тогда частное решение y2 – можно искать в виде y2 = Qn(x) xreax, где Qn(x) – многочлен той же степени, что и Pn(x), а r – число корней характеристического уравнения, равных a.

Если а = 0, то имеет место случай 1).

 

Пример 12.

Найти общее решение уравнения

.

Решение.

Составим характеристическое уравнение

.

Находим корни характеристического уравнения

.

Значит, общее решение однородного уравнения имеет вид

.

Так как среди корней характеристического уравнения имеется только один корень k1 = a = 1, то r = 1. В данном случае Pn(x) = x – многочлен первой степени. Поэтому частное решение данного уравнения ищем в виде

.

Или

.

Находим первую

и вторую производные

.

Подставляя частное решение, первую и вторую производные в исходное уравнение, получим:

-4Ах +2А - 2B = x.

Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях последнего равенства.

Получаем

-4А = 1, 2А – 2B = 0.

Решаем полученную алгебраическую систему и находим коэффициенты A и B.

.

Следовательно, частное решение неоднородного уравнения имеет вид

,

Общее решение данного уравнения примет окончательный вид

, то есть

.

 

 

3). Правая часть имеет вид

 

f(x) = a cos(bx) + b sin((bx),

где a, b b - известные числа.

 

Тогда частное решение y2 – можно искать в виде

y2 =(A cos((bx) + B sin((bx)) xr,

где A, B - неизвестные коэффициент ы, а r – число корней характеристического уравнения, равных b.

Пример 13.

Найти общее решение уравнения

.

Решение.

 

Характеристическое уравнение

имеет корни

.

Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид

.

В правой части данного уравнения – функция sinx, т.е. a = 0, b = 1, b = 1.

Так как ib = i – корень характеристического уравнения, то r = 1 и частное решение надо искать в виде

или

.

Вычисляем первую и вторую производные от частного решения

 

и подставляя частное решение, первую и вторую производные в заданное неоднородное дифференциальное уравнение получаем

.

Сравнивая в последнем равенстве коэффициенты при sin(x) и cos(x) найдем A и B:

.

Значит

- частное решение неоднородного уравнения.

Следовательно, общее решение неоднородного дифференциального уравнения

имеет вид

.

 

 

4). Правая часть имеет вид

 

f(x) = eax(Pn(x) cos(bx) + Pm(x) sin(bx)),

где Pn(x) – многочлен степени n, Pm(x) – многочлен степени m.

 

Тогда частное решение следует искать в виде

y2 = xr eax (Q1(x) cos(bx) + Q2(x) sin(bx)),

 

где Q1(x) и Q2(x) - многочлены степени s, где , а r –число корней характеристического уравнения, равных a + i b.

 

Пример 14.

Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение.

Находим общее решение однородного уравнения

Для этого составляем характеристическое уравнение

.

Находим корни характеристического уравнения

Общее решение однородного уравнения имеет вид

В нашем случае, согласно теории, Pn(x) = 3, Pm(x) = 0, s = 0. Число a + ib = 2 +i1 не является корнем характеристического уравнения, поэтому r = 0 и частное решение ищем в виде

.

Дифференцируя

 

и подставляя в уравнение, получаем

 

 

Сравнивая коэффициенты при cos(x) и sin(x) в левой и правой частях последнего равенства, найдем A и B:

.

 

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения имеет вид

 

 

Общее решение заданного неоднородного дифференциального уравнения примет окончательный вид

 

5). Правая часть уравнения

представляет сумму двух функций.

 

Тогда частное решение можно искать в виде

y2 = y21 +y22,

где y21 – частное решение уравнения

,

а y22 – частное решение уравнения

 

 

Пример 15.

Найти общее решение уравнения

.

Решение.

Решая вначале однородное уравнение, получим

.

Так как правая часть уравнения состоит из суммы двух функций sin(x) и x, то частное решение ищем в виде

,

где - частное решение уравнения ,

 

а - частное решение уравнения .

 

Находим частное решение . Так как число ib = i не является корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в виде

 

.

Подставляя

 

,

 

,

 

в уравнение ,

получим

Сравнивая коэффициенты в обеих частях уравнения при sin(x) и cos(x), найдем неизвестные коэффициенты A и B:

.

Следовательно,

.

 

Теперь найдем частное решение уравнения .

 

Решение будем искать в виде

, так число a = -1 не является корнем характеристического уравнения.

 

 

Подставляя

 

, ,

в уравнение

, получим

 

Сравнивая коэффициенты при e-x в обеих частях уравнения, найдем, что A = 1/ 4.

Следовательно,

,

а частное решение неоднородного уравнения имеет вид

.

 

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения имеет вид

 

.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.02 сек.)