АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

Читайте также:
  1. E) Для фиксированного предложения денег количественное уравнение отражает прямую взаимосвязь между уровнем цен Р и выпуском продукции Y.
  2. I Классификация кривых второго порядка
  3. I. МЕХАНИКА И ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
  4. II ОБЩИЕ НАЧАЛА ПУБЛИЧНО-ПРАВОВОГО ПОРЯДКА
  5. II. САКРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ: МЕТАФОРА УНИВЕРСАЛЬНОГО ПОРЯДКА
  6. IV. УРАВНЕНИЕ ГАМЛЕТА
  7. IV.1. Общие начала частной правозащиты и судебного порядка
  8. V2: Волны. Уравнение волны
  9. V2: ДЕ 32 - Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная
  10. V2: ДЕ 35 - Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производные высший порядков
  11. V2: ДЕ 53 - Способы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
  12. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Часть I

Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

Дифференциальное уравнение вида

(1)

где , f - известная функция, называется линейным дифференциальным уравнением n - го порядка с постоянными коэффициентами. Если , то уравнение (1) называется однородным, в противном случае - неоднородным. К однородному уравнению, очевидно, применима теорема существования и единственности, причем интервалом определения решений этого уравнения будет вся действительная ось.

Если f - непрерывная функция, то общее решение уравнения (1) состоит из суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения (1).

Чтобы решить однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами (1) надо составить характеристическое уравнение

(2)

и найти его корни . Каждому простому корню соответствует частое решение однородного уравнения (1), имеющее вид , а каждому корню кратности k - решения . Произвольная линейная комбинация всех частных решений является общим решением однородного уравнения (1), т.е.

,

где произвольные постоянные.

Если все коэффициенты однородного уравнения (1) вещественные, то решение можно написать в вещественной форме и в случае комплексных корней . Для каждой пары комплексно сопряженных корней в формулу общего решения включаются слагаемые

,

если эти корни простые, и слагаемые

,

если каждый из корней имеет кратность k. Здесь - многочлены степени k-1.

Для линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида, а именно состоящей из сумм и произведений функций , частное решение можно искать методом неопределенных коэффициентов. Вид частного решения зависит от корней характеристического уравнения. Ниже представлена таблица видов частных решений линейного неоднородного уравнения с правой частью специального вида.

Здесь -многочлены степени s, а - многочлены степени s, коэффициенты которых нужно найти методом неопределенных коэффициентов. Для того чтобы их найти, нужно функцию, задающую вид частного решения, подставить в исходное дифференциальное уравнение и после приведения подобных слагаемых приравнять соответствующие коэффициенты в правой и левой частях уравнения. В случае, когда для определения вида частного решения нельзя воспользоваться только одной строкой таблицы, применяют принцип суперпозиции.

Теорема (принцип суперпозиции). Пусть - решения уравнений

,

соответственно. Тогда

есть решение уравнения

.

 


1 | 2 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)