АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Теорема Куна-Таккера

Читайте также:
  1. I. 4.1. Первая теорема двойственности
  2. S-M-N-теорема, приклади її використання
  3. Б1 1.Системы линейных алгебраических уравнений (СЛУ). Теорема Кроникера-Капелли. Общее решение СЛУ.
  4. Базисный минор и ранг матрицы. Теорема о базисном миноре
  5. Билет 22Понятие евклидова пространства, неравенство Коши-Буняковского. Теорема Кронекера Капелли.
  6. Билет 5 Теорема Безу и следствия из неё. Основная теорема алгебры.
  7. Внешние эффекты (экстерналии). Теорема Коуза.
  8. Внешние эффекты и внешние затраты. Государственная политика в случаях их возникновения. Теорема Коуза.
  9. Внешние эффекты трансакционные издержки. Теорема Коуза
  10. Внешние эффекты, их виды и последствия. Теорема Коуза
  11. Внешние эффекты. Теорема Коуза.
  12. Внешние эффекты. Теорема Коуза.

Применяется при решении полной задачи нелинейного программирования (4.1.) – (4.4.).

Если - вектор, являющийся решением задачи (4.1.) – (4.4.), то найдется вектор λ = (λ12,…λm), где m – число уравнений связи (4.3) и вектор

μ = (μ12,…μr), где r - число функциональных ограничений (4.4.) одновременно не равные нулю, такие что при , расширенная функция Лагранжа:

(4.19)

достигает по и min по

При этом необходимо выполнение дополнительных условий

μk ≥ 0 (4.20)

μk ψk() = 0 (4.21)

Таким образом, необходимые условия оптимальности из теоремы Куна-Таккера:

(4.22)

(4.23)

Если автономные ограничения отсутствуют, тогда знак вариации варьируемых переменных не определен и условие (4.22) преобразуется в условие:

(4.24)

Пример: Определить при

D= X1 + X2 = 0

X1 – 1 ≥ 0

Составляем расширенную функцию Лагранжа:

≥ 0;

Автономные ограничения отсутствуют, поэтому используем необходимые условия оптимальности (4.24) и (4.23)

=-2 +2+ + =0

+ = 0

Так как мы получили систему из трех уравнений с четырьмя неизвестными , то для решения задачи необходимо использовать дополнительные условия (4.20) и (4.22). Эти условия в рассматриваемой задаче будут выполняться в двух случаях:

1). μ = 0; ψ(X) = X 1 – 1 ≥ 0, тогда имеем:

 

-2 X 1 + = - 2 X 1X 2 = 1 = 0.5

-2 X 2 + = 0, откуда X 1 + X 2 = 0, = - 0.5

X 1 + X 2 = 0

 

При полученных значениях и условие X 1 - 1 ≥ 0 не выполняется, следовательно, принятое допущение некорректно.

Заметим также, что в случае μ = 0, расширенная функция Лагранжа (4. 19) превращается в обычную функцию Лагранжа (4. 6), которая составляется в случае отсутствия функциональных ограничений (4. 4), что не соответствует условиям рассматриваемого примера.

2). µ > 0; X 1 – 1 = 0; следовательно: X 1 = 1

Необходимые условия оптимальности:

-2 X + λ + μ = -2

-2 X 2 + λ = 0

X 1 + X 2 = 0

Откуда, с учетом X 1= 1, получаем X 2= -1; λ = -2; μ = 2 > 0, следовательно, условие (4. 20) выполняется.

Таким образом, задача решена X 10 = 1, X 20 = -1.

Очевидно, что наложение на область допустимых решений D дополнительных условий уменьшает значение получаемого максимума функции f 0.

Для подтверждения этого положения найдем для рассмотренного примера максимальные значения целевой функции в отсутствии ограничений (безусловный максимум), при наличии одного ограничения типа связи и при наличии обоих ограничений, предусмотренных в условии примера.

1. Необходимые условия оптимальности целевой функции в отсутствие ограничений

; где M1 – безусловный

2. Это случай μ = 0, т.е. отсутствуют функциональные ограничения. Решения для него получены выше.

M2 = max f0 (Х) = – (0.5)2 – (0.5)2 + 2 · 0.2 = 0.5

X€D

 

D: X1+X2=0

3. При наличии обоих ограничений выше получено

M3 = max f0 (X) = - (1)2 – (-1)2 + 2 · 1 = 0

X€D

 
 


D= X1+X2=0

X1 -1 ≥ 0

 

M1 > M2 > M3 - что и требовалось доказать.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)