АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Обрывающиеся процессы восстановления

Читайте также:
  1. V.ТЕПЛОВЫЕ ПРОЦЕССЫ.
  2. XI. Гетерогенные процессы.
  3. Адаптивные процессы и адаптационные технологии в социальной работе.
  4. Административные бизнес-процессы
  5. Альтернирующие процессы восстановления
  6. Анализ и оценка реальных возможностей восстановления платежеспособности предприятия
  7. Англия в позднем средневековье. Социально – экономические процессы. Огораживание.
  8. Анодные процессы.
  9. Архиерейские процессы. Дело Воронежского архиепископа Льва (Юрлова)
  10. Атмосферные процессы в тропосфере.
  11. Базовые понятия: информация, информационные процессы
  12. Биологические процессы в технологии

До сих пор ограничениями были:

· отсутствие у функции распределения F(t) единичного скачка в нуле для существования функции восстановления;

· существование моментов для справедливости асимптотического разложения этой функции.

При этих условиях процесс восстановления будет развиваться во времени, за конечное время произойдет конечное число восстановлений (не будет бесконечных накоплений), а за бесконечное время произойдет бесконечное число восстановлений, то есть при t®¥ с вероятностью единица x(t)®¥.

Такая ситуация имеет место, когда распределение, определяющее процесс восстановления, является собственным, то есть P{x<¥}=limt®¥F(t)=F(¥)=1 (условие, необходимое для существования моментов).

Другая картина возникает в случае, когда распределение F(t) является несобственным, F(¥)<1, P{x=¥}=1-F(¥)>0. Тогда с положительной вероятностью 1-F(¥)>0 процесс восстановления может оборваться на каком-то шаге, то есть время до следующего восстановления будет равно бесконечности.

Процесс восстановления, у которого распределение интервалов между соседними моментами восстановления является несобственным, называется обрывающимся процессом восстановления.

Прежде чем формулировать теорему о предельном поведении обрывающегося процесса восстановления, докажем лемму о предельном поведении интегралов свертки.

ЛЕММА 2.2. Если функции А(x) и В(x) при x>0 положительные неубывающие и равномерно ограниченные, то

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу условий теоремы для любого e1>0 найдется такое t1(e1)>0, что при t>t1(e1)

.

Для любого e2>0 найдется такое t2(e2)>0, что при t>t2(e2) и

.

Тогда при t>max[t1(e1), t2(e2)] имеем оценку

что и доказывает утверждение леммы. *

ТЕОРЕМА 2.2. Для обрывающегося процесса восстановления, начинающегося в момент t=0, справедливы следующие утверждения:

1. процесс оборвется с вероятностью единица или с вероятностью единица за бесконечное время произойдет конечное число восстановлений, то есть

; (2.24)

2. функция восстановления ограничена на расширенной полупрямой [0, ¥] и

(2.25)

3. момент обрыва имеет собственное распределение

. (2.26)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для несобственного распределения непосредственный переход к пределу при t→∞ в интеграле свертки дает F(k)(¥)=[F(¥)]k<1, k>0, и F(0)(¥)<1. Доказательство этого факта легко провести по индукции, используя лемму 2.2. Функции распределения удовлетворяют условиям леммы. Поэтому . Если , то из утверждения леммы следует

Тогда из (2.3) получаем

P{x(¥)=k}=limt®¥ P{x(t)=k}=limt®¥ [F(k)(t)-F(k+1)(t)]=(F(¥))k[1-F(¥)] (2.27)

и, следовательно, справедливо (2.24).

Для доказательства (2.25) воспользуемся равенством (2.4)

причем перемена порядка суммирования и перехода к пределу законна, поскольку ряд (2.4) сходится равномерно при 0£t<¥.

Равенство (2.27) показывает, что число слагаемых xm до обрыва процесса восстановления имеет геометрическое распределение. Тогда по формуле полной вероятности получаем

При вычислении условной вероятности , заметим, что справедливо равенство событий

Поэтому в силу независимости случайных величин ξm+1 и tm имеем

Таким образом, все утверждения теоремы доказаны. *

СЛЕДСТВИЕ 2.1. Если неубывающая функция В(x) имеет предел при x®¥, B(¥)=limx®¥B(x) и H(x) функция восстановления обрывающегося процесса восстановления, то

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательство непосредственно вытекает из равенства (2.25) и утверждения леммы 2.2.*


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)