АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Уравнения Колмогорова

Читайте также:
  1. I I. Тригонометрические уравнения.
  2. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  3. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  4. V2: Применения уравнения Шредингера
  5. V2: Уравнения Максвелла
  6. VI Дифференциальные уравнения
  7. Алгебраические уравнения
  8. Алгебраические уравнения
  9. Алгоритм составления уравнения химической реакции
  10. АНАЛИЗ УРАВНЕНИЯ (13)
  11. Аналитическое решение данного дифференциального уравнения
  12. Аналитическое решение данного дифференциального уравнения

Из перечисленных в предыдущем параграфе свойств переходных вероятностей следуют теоремы о существовании интенсивностей перехода.

Сформулируем эти теоремы без доказательства (доказательства можно найти в [9,11]).

ТЕОРЕМА 4.1. При каждом iÎЕ предел

существует, но может быть бесконечным.

ТЕОРЕМА 4.2. При любых i,jÎЕ, i¹j, предел

существует и конечен.

Для конечного множества состояний E очевидно равенство . Для счетного множества состояний E справедливо неравенство

В самом деле, из свойств переходных вероятностей следует

и для любого N<¥ справедливо неравенство

Разделив обе части неравенства на t и устремив t к нулю, получим

Поскольку N произвольно, а все слагаемые неотрицательны, получаем требуемое утверждение.

Вывод уравнений Колмогорова. Для конечного множества состояний Е уравнения Колмогорова получаются по формулы полной вероятности и свойств переходных вероятностей (разложение в окрестности нуля)при D®0

,

(4.10)

Для конечного множества состояний Е=(1,2,...,N) из (4.6) получаем

(4.11)

или после элементарных преобразований и перехода к пределу при D®0

(4.12)

Система дифференциальных уравнений (4.12) называется прямыми уравнениями Колмогорова.

Исходя из (4.6), равенство (4.11) можно записать иначе

и после аналогичных элементарных преобразований получаем систему обратных уравнений Колмогорова

(4.13)

Для вероятностей состояний (одномерного распределения)

по формуле полной вероятности получаем соотношение

Если использовать разложение переходных вероятностей в окрестности нуля, то получим

После элементарных преобразований при D®0 получаем систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний процесса Маркова

 

(4.14)

Заметим, решение системы (4.14) при начальном условии совпадает с переходной вероятностью , то есть совпадает с решением системы уравнений (4.12).

Для счетного числа состояний необходимым и достаточным условием справедливости обратных уравнений Колмогорова (4.13) являются условия

при всех iÎE. (4.15)

Доказательство этого утверждения дано в [9, 11].

В дальнейших рассуждениях предполагаем условия (4.15) выполненными.

Относительно прямых уравнений Колмогорова ситуация значительно сложнее, поскольку можно построить пример марковского процесса, для которого условия (4.15) выполняются, а равенства (4.12) не выполняются [11]. Поэтому в дальнейшем справедливость прямых уравнений Колмогорова для процесса Маркова со счетным множеством состояний будет постулироваться.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)