АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Решение практических задач. П р и м е р 13.1. Найти общий интеграл уравнения

Читайте также:
  1. I Психологические принципы, задачи и функции социальной работы
  2. I. 1.1. Пример разработки модели задачи технического контроля
  3. I. 1.2. Общая постановка задачи линейного программирования
  4. I. 2.1. Графический метод решения задачи ЛП
  5. I. 3.1. Двойственная задача линейного программирования
  6. I. ГИМНАСТИКА, ЕЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
  7. I. ЗАДАЧИ ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ПРАКТИКИ
  8. I. Значение и задачи учета. Основные документы от реализации продукции, работ, услуг.
  9. I. Иммунология. Определение, задачи, методы. История развитии иммунологии.
  10. I. Решение логических задач средствами алгебры логики
  11. I. Розв’язати задачі
  12. I. Ситуационные задачи и тестовые задания.

П р и м е р 13.1. Найти общий интеграл уравнения

.

Решение. Разделим переменные в данном уравнении, поделив обе части на выражение cos2 y ∙sin2 x:

.

Интегрируя обе части данного уравнения, получим

,

откуда

Воспользуемся тем, что С – произвольная постоянная и заменим С на . Тогда

.

Это и есть общий интеграл данного уравнения.

П р и м е р 13.2. Найти общий интеграл уравнения

.

Решение. Разрешим уравнение относительно производной :

.

Поделив числитель и знаменатель правой части уравнения на х 2, получим:

т. е. у ¢ есть функция отношения . Это означает, что данное уравнение – однородное.

Для решения этого уравнения введем новую функцию . Тогда у = ux и . Тогда уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя это уравнение, получим

откуда .

Заменяя в последнем равенстве u отношением , окончательно получим:

.

П р и м е р 13.3. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Положим y = u∙v, тогда y ¢ = u ¢ v + u v ¢ и данное уравнение примет вид:

.

Решая уравнение , получим простейшее частное решение:

.

Подставляя v в уравнение, получим

.

из которого находим u:

Итак, искомое общее решение примет вид

П р и м е р 13.4. Найти общее решение уравнения

.

Решение. 1) Найдем решение соответствующего однородного уравнения. Для этого составим характеристическое уравнение, т. е. y ¢¢ = k2, y ¢ = k:

.

Следовательно,

.

2) Найдем теперь у *. Здесь правая часть имеет вид , где k = – 3, Pn (x) = A. Так как k = – 3 является двукратным корнем характеристического уравнения, т. е. r = 2, то частное решение у * следует искать в форме

,

где А – коэффициент, подлежащий определению. Вычислим производные и :

;

.

Подставляя выражения для у *, и в данное выражение, сокращая обе части на и приводя подобные члены, в итоге получим 2 А = 14, откуда А = 7. Следовательно, искомое частное решение имеет вид:

Итак, общее решение данного уравнения

Пример 13.5.. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .

Решение. Представим решение данного уравнения в виде ряда

. (*)

Подставив начальное условие , в (*), получим . Продифференцируем разложение (*):

. (**)

Подставим в данное дифференциальное уравнение вместо его значение (**), а вместо – его выражение (*), взяв первые три члена (в соответствии с условием задачи). Получим . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа последнего равенства, получим , . Так как , то , , и решение (8) примет вид .

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)