АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Лінійні та однорідні рівняння n-го порядку

Читайте также:
  1. Бюджетні обмеження споживача, бюджетне рівняння та фактори впливу на бюджетну лінію.
  2. Бюджетні обмеження. Вплив зміни доходу або ціни товару на бюджетні обмежені обмеження. Нелінійні бюджетні обмеження.
  3. Види матриць. Лінійні дії над матрицями та їх властивості. Транспонування матриць. Добуток матриць
  4. Визначники другого порядку. Системи лінійних рівнянь з двома невідомими
  5. Виклад суті згаданого способу почнемо з визначника ІІ-го порядку.
  6. Геометрична інтерпретація, диференціального рівняння першого порядку.
  7. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної.
  8. Грошовий обіг та його закони. Рівняння грошової та товарної мас (рівняння Ірвена Фішера). Грошові агрегати.
  9. Диференціальне рівняння кривої, яка в кожній точці має задану дотичну
  10. Диференціальні рівняння вищих порядків
  11. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ МЕТОД ЗНИЖЕННЯ ПОРЯДКУ
  12. Диференціальні рівняння другого порядку

Означення. Рівняння виду a (x)y + a (x)y +…+a (x)y=f(x) називається лінійним рівнянням n-го порядку.

Якщо f(x)=0, то говорять, що рівняння є лінійне однорідне рівняння n-го порядку

.

Однорідні лінійні рівняння будемо записувати у вигляді (котрий легко отримати з вихідного рівняння після ділення його на )

y +p (x) y +…+p (x)y=0.

Теорема. Нехай функції p (x) визначені та неперервні на [a;b], тоді, для лінійного однорідного рівняння, довільна задача Коші на області [a;b] має єдине рішення.

Доведення. Відповідна функція, що фігурує у теоремі існування та єдиності розв’язку рівняння n-го порядку, має вигляд:

F(x, y, y′,…y )=-p (x) y -…-p (x)y. З умови теореми вона неперервна і = p (x) обмежені, оскільки неперервні на [a; b], що гарантує виконання умови Ліпшица для F. Отже ствердження теореми випливає з теореми існування та єдиності для загальних рівнянь n-го порядка.

Розглянемо властивості рішень лінійних однорідних рівнянь. Для скорочення запису введемо позначення Ly = y +p (x) y +…+p (x)y, де L – лінійний оператор, що випливає з властивостей похідної, тоді однорідне лінійне рівняння має вигляд Ly=0.

Теорема. Нехай y і y – довільні рішення однорідного лінійного рівняння, тоді:

1) для кожного с є R¹, сy – рішення однорідного лінійного рівняння,

2) y + y є рішенням лінійного однорідного рівняння.

Доведення. Доведення випливає з властивостей лінійного оператора, тобто L (сy ) =сLy =0, L (y +y ) = Ly +Ly =0.

Наслідок. Нехай y ,…,y –довільні рішення лінійного однорідного рівняння, тоді їхня лінійна комбінація α …α є рішенням лінійного однорідного рівняння.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)