АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Рівняння Лагранжа

Читайте также:
  1. Бюджетні обмеження споживача, бюджетне рівняння та фактори впливу на бюджетну лінію.
  2. Геометрична інтерпретація, диференціального рівняння першого порядку.
  3. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної.
  4. Грошовий обіг та його закони. Рівняння грошової та товарної мас (рівняння Ірвена Фішера). Грошові агрегати.
  5. Диференціальне рівняння кривої, яка в кожній точці має задану дотичну
  6. Диференціальні рівняння вищих порядків
  7. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ МЕТОД ЗНИЖЕННЯ ПОРЯДКУ
  8. Диференціальні рівняння другого порядку
  9. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними
  10. Диференціальні рівняння з відокремленими і відокремлюваними змінними
  11. Диференціальні рівняння першого порядку з
  12. Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку

Його загальний вигляд .

Покладемо та продиференціюємо по , замінюючи на . Отримаємо рівняння лінійне відносно як функції від . Знайшовши розв’язок цього останнього рівняння , отримаємо загальний розв’язок в параметричній формі: , .

, ,

-ЛНДР-1

Крім того, рівняння Лагранжа може мати ще особливі розв’язки виду , де - корінь рівняння .

Приклад. .

Нехай , тоді . Продиференціюємо:

, , - ЛНДР-1 відносно , розв’язком якого є . Підставимо знайдений вираз для в :

, .

Рівняння Клеро має вигляд . Метод розв’язання той самий, як і для рівняння Лагранжа:

,

- загальний розв’язок.

Рівняння Клеро може мати особливий розв’язок, який можна отримати виключенням параметра з рівнянь , .

Приклад. .

Нехай , тоді , ,

- одно параметрична сім’я прямих.

Якщо , то .

Виключимо параметр з системи

.

Тобто особливий розв’язок, що з геометричної точки зору є обвідною сім’ї прямих.

 

 


ДР- . Основні поняття та означення

ДР- має вигляд , або у випадку, коли воно розв’язне відносно

. (1)

Задача знаходження розв’язку , який задовольняє початкові умови , називається задачею Коші для рівняння (1).

Теорема (існування та єдиності розв’язку задачі Коші). Якщо в рівнянні (1) функція

а) неперервна по всім своїм аргументам в деякій області ;

б) має в цій області обмежені частинні похідні ,

то знайдеться інтервал , на якому існує єдиний розв’язок рівняння (1), що задовольняє початковим умовам , де значення містяться в області .

Зокрема, для ДР-2 початкові умови мають вигляд , де - дані числа. В цьому випадку теорема існування та єдності геометрично означає, що через дану точку площини з даним тангенсом кута нахилу дотичної проходить єдина крива.

Приклад. , .

В даному випадку , яка визначена і неперервна при всіх значеннях . Її частинні похідні по і рівні

,

які є неперервними і обмеженими функціями своїх аргументів. Тому для довільних початкових умов існує єдиний розв’язок даного рівняння, який їм задовольняє.

Загальним розв’язком ДР- (1) називається множина всіх його розв’язків , що містить довільних сталих таких, що якщо задані початкові умови , то знайдуться такі значення , що буде розв’язком р-ня (1), що задовольняє цим початковим умовам.

Довільний розв’язок, який можна отримати із загального при конкретних значеннях довільних сталих , називається частинним розв’язком (1).

Рівняння виду , яке визначає неявно загальний розв’язок ДР, називається загальним інтегралом рівняння. Графік частинного розв’язку або частинного інтегралу називається інтегральною кривою даного ДР.

 

ДР- , що допускають пониження порядку

1. Рівняння виду розв’язується послідовним інтегруванням

, …

.

Приклад.

Відповідь: .

2. ДР- , що не містять шуканої функції .

Позначимо , отримаємо рівняння , що має порядок на одиниць менше.

Приклад.

Нехай , тоді і рівняння приймає вигляд - однорідне ДР

Відповідь: .

3. ДР, що не містять незалежної змінної .

Застосуємо підстановку , ,

, …

Таким чином порядок рівняння знижується на 1.

Приклад.

Це рівняння типу .

, ,

, , .

 

 

Лінійні ДР-

Рівняння виду називається лінійним ДР- , де - коефіцієнти ДР, - неперервна в інтервалі .

Якщо , то рівняння однорідне, інакше – неоднорідне.

Задача Коші полягає в тому, щоб знайти частинний розв’язок рівняння , що задовольняє початкові умови: при , де - певні числа.

Теорема (про існування та єдність розв’язку). ДР- має єдиний розв’язок, що задовольняє початкові умови , якщо: 1) права частина є неперервна функція змінних ; 2) частинні похідні по змінним обмежені.

Внаслідок того, що за означенням ЛДР- функції неперервні на деякому відрізку , а тому і обмежені на ньому, і частинні похідні по змінним якраз і рівні цим функціям, то ЛДР- задовольняє умови Коші. І тому для кожної початкової умови рівняння має єдиний розв’язок.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.01 сек.)