АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Розділ 2. Тригонометрія

Читайте также:
  1. I розділ
  2. Актуальність розділу.
  3. Бальнеологія як розділ курортології. Головні бальнеологічні групи мінеральних вод.
  4. В – Індивідуальні розділи курсу
  5. Вимоги до написання підрозділу
  6. Вимоги до написання підрозділу
  7. Вимоги до написання підрозділу
  8. Висновки до розділу
  9. Висновки до розділу
  10. Висновки до розділу
  11. ВИСНОВКИ ДО РОЗДІЛУ 1
  12. ВИСНОВКИ ДО РОЗДІЛУ 2

Приклад 2.1. Довести тотожність .

Тому , що й треба було довести.

Приклад 2.2. Довести тотожність

.

що й треба було довести.

Приклад 2.3. Спростити вираз .

За умовою .

Розіб’ємо цей проміжок на два і .

Тоді при маємо , тому

.

При маємо , тому

.

Відповідь: , якщо ; , якщо .

Приклад 2.4. Довести, що коли – внутрішні кути трикутника ,то справджується рівність

.

Спочатку виключимо кут , а після перетворень виразу знову покладемо .

що й треба було довести.

Приклад 2.5. Довести рівність .

що й треба було довести.

Приклад 2.6. Обчислити вираз .

Відповідь: .

Приклад 2.7. Обчислити без таблиць .

Нехай . Подамо тотожність у вигляді . Звідси

.

Оскільки , то

.

Знаходимо додатний корінь квадратного відносно рівняння: .

Відповідь: .

Приклад 2.8. Обчислити значення виразу .

Позначимо . Тоді . Враховуючи непарність арктангенса, обчислимо

. За формулою обчислюємо значення .

Відповідь: 0,98.

Приклад 2.9. Обчислити значення виразу .

Оскільки , то

.

Нехай , тоді .

Отже, .

За формулами подвійного та половинного кутів маємо

.

Звідси .

Отже, .

Відповідь: .

Приклад 2.10. Розвязати рівняння .

Маємо . Звідки . Останнє рівняння має розв’язки лише за умови , яка виконується лише при та . При цих значеннях n дістанемо рівняння які мають відповідно розвязки

.

Відповідь:

Приклад 2.11. Розв’язати рівняння .

Бачимо, що , отже, згрупуємо функції і застосуємо формулу різниці косинусів:

Розв’язок міститься у розв’язку (при ). Рівняння ж – не має цілих розв’язків.

Відповідь: . ▼

Приклад 2.12. Розв’язати рівняння .

;

Відповідь:

Приклад 2.13. Розв’язати рівняння

Відповідь:

Приклад 2.14. Розв’язати рівняння

Оскільки то

Отже, рівняння рівносильне системі

Система має розв’язки лише тоді, коли рівняння має розв’язки на множині цілих чисел. У цьому випадку маємо розв’язки тому

Відповідь:

 

Приклад 2.15. Розв’язати рівняння (*)

Рівняння (*) рівносильне сукупності

 

або

 

Розв’яжемо першу систему рівнянь

 

 

Аналогічно знаходимо розв’язки другої системи

 

 

 

Відповідь:

 

Приклад 2.16. Розв’язати рівняння

Рівняння рівносильне сукупності систем

 

Знаходимо розв’язки цих систем:

 

 

 

 

 

 

 

Відповідь:

 

Приклад 2.17. Розв’язати рівняння .

∆ Оскільки то Отже, дане рівняння матиме вигляд

 

 

Проте , тому ця рівність виконуватиметься лише тоді, коли

 

 

Отже, можливі два випадки

звідки

Відповідь:

 

Приклад 2.18. Розв’язати рівняння

Відповідь:

 

Приклад 2.19. Розв’язати рівняння

∆ ОДЗ:

Виразимо арккосинус через арксинус:

 

 

Дістанемо рівняння , звідки і .

Відповідь: {2}. ▼

 

Приклад 2.20. Розв’язати рівняння .

∆ОДЗ:

Нехай тоді причому

Із рівняння маємо Обчислимо косинус від обох частин рівняння:

 

 

Підставимо значення дістанемо тотожність

 

 

Відповідь:

 

Приклад 2.21. Розв’язати систему рівнянь

∆Система рівносильна сукупності двох систем

або

 

Перша система роз’язків не має.

Розв’язуємо другу систему рівнянь:

 

 

Відповідь:

Приклад 2.22. Для кожного значення параметра розв’язати рівняння

.

.

Тому , звідки .

Це рівняння має розв’язки якщо , тобто .

При інших значеннях параметра розв’язків немає.

Відповідь: якщо , то розв’язків немає, якщо , то . ▼

 

Приклад 2.23. Знайти всі значення параметра , при кожному з яких рівняння має розв’язки? Знайти ці розв’язки.

Заміною , зведемо дане рівняння до квадратного:

Тригонометричне рівняння має розв’язки при тих значеннях параметра , при яких квадратне рівняння має принаймні один розв’язок на проміжку . Дискримінант квадратного тричлена , його корені при

.

Розглянемо такі випадки.

1. Обидва корені квадратного тричлена належать проміжку , якщо:

Маємо , тому визначаємо з системи:

 

Для цих значень дістанемо розв’язки тригонометричного рівняння:

2. Один із коренів квадратного тричлена належить проміжку

а) , а , якщо

 

У цьому випадку рівняння має розв’язки

 

б) , а , якщо

 

У цьому випадку рівняння має розв’язки

Для решти значень параметра рівняння не має розв’язків.

Відповідь: якщо , то

якщо , то

якщо , то . ▼

Приклад 2.24. Знайти всі значення параметра , при кожному з яких рівняння має розв’язки? Знайти ці розв’язки.

Права частина рівняння невід’ємна, причому . Тому ліва частина також невід’ємна, тобто . Зауважимо, що в цьому випадку

.

Рівність обох частин рівняння можлива лише у випадку, коли

Для решти значень параметра рівняння не має розв’язків.

Відповідь: при

 

Приклад 2.25. Знайти всі значення параметра , при кожному з яких рівняння має розв’язки? Знайти ці розв’язки.

Рівняння зводиться до однорідного:

.

Переконуємося, що , поділимо на , дістанемо рівняння

.

Заміною рівняння зводиться до квадратного

Це рівняння має розв’язки, якщо , тобто

Отже, якщо , то

якщо , то

якщо , то

якщо то розв’ків не має.

Відповідь: якщо , то

якщо , то

якщо , то

якщо то розв’ків не має.

 

Приклад 2.26. Знайти всі значення параметра , при кожному з яких рівняння має розв’язки? Знайти ці розв’язки.

ОДЗ: . Запроваджуємо допоміжний кут:

Із множини розв’язків першого рівняння лише значення належить проміжку . Друге рівняння має розв’язки за умови . Зауважимо, що функція має період , тому на проміжку довжини періоду друге рівняння може мати: один розв’язок, якщо , тобто

, або (у цьому випадку розв’язки обох рівнянь збігаються); два розв’язки, якщо і ; три розв’язки, якщо .

Отже, рівняння матиме рівно чотири різних розв’язки на проміжку , якщо .

Відповідь: . ▼

 

Приклад 2.29. Знайти всі значення параметра , при кожному з яких рівняння має єдиний розв’язок? Знайти цей розв’язок.

Функція при всіх значеннях параметра є парною щодо .

Якщо число є розв’язком даного рівняння, то також буде розв’язком. Отже, єдиним може бути лише розв’язком . Знайдемо значення параметра , при яких рівняння не має інших розв’язків, крім .

Підставимо значення у рівняння, дістанемо квадратне рівняння

, яке має корені і .

Якщо , то дане рівняння матиме вигляд

.

Це рівняння інших коренів, крім , не має, оскільки , а

при .

Якщо , то дане рівняння має вигляд

.

і може мати корені, крім , наприклад, .

Тому значення не справджує умову задачі.

Відповідь: , . ▼

 

Приклад 2.30. Знайти всі значення параметра , при кожному з яких система рівнянь

має розв’язки? Знайти ці розв’язки.

Якщо , то перше рівняння системи не має розв’язків, оскільки

, а . Знайдемо розв’язки системи, якщо

Рівняння має розв’язки .

Рівняння має розв’язки .

Розв’язки обох систем збігаються.

Відповідь: . ▼

 

Приклад 2.31. Розв’язати нерівність .

Дана нерівність рівносильна сукупності двох систем нерівностей

Перша – несумісна. Знаходимо розв’язки другої

Перша нерівність має розв’язки а друга:

Знаходимо перетин цих множин.

Відповідь: . ▼

 

Приклад 2.32. Розв’язати нерівність .

Нерівність рівносильна сукупності:

Відповідь: . ▼

 

Приклад 2.33. Розв’язати нерівність .

Знаходимо розв’язок тригонометричної нерівності:

.

звідки

.

Проте , тому при значеннях та розв’язуємо нерівності та . Для цього беремо косинус від усіх частин нерівностей. Враховуючи, що на інтервалі косинус спадає, дістаємо та .

Відповідь: . ▼

 

Приклад 2.34. Розв’язати нерівність .

Зробимо заміну , тоді

Отже, маємо сукупність нерівностей

Знаходимо її розв’язок:

Відповідь: . ▼

 

Приклад 2.35. Розв’язати нерівність .

Зведемо її до однорідної:

Якщо , то нерівність завжди виконується. Якщо , то поділимо нерівність на , дістанемо

.

Алгебраїчна відносно нерівність має розв’язки

а тому:

Доповнимо ці інтервали розв’язками рівняння , тобто множиною

У відповіді записуємо об’єднання цих множин розв’язків.

Відповідь:

 

Приклад 2.36. Розв’язати нерівність .

Нерівність визначена при . Оскільки

то маємо , звідки .

За означенням маємо рівносильну нерівність .

Беремо синус від усіх частин нерівності (на інтервалі синус зростає), .

Відповідь: . ▼

 

Приклад 2.37. Для всіх значень параметра розв’язати нерівність

.

Розв’яжемо першу систему нерівностей:

Отже, якщо , то ; якщо :

Знайдемо розв’язок другої системи нерівностей:

Отже, ця система нерівностей має такі розв’язки:

якщо якщо

Відповідь:

якщо , то ;

і ;

якщо , то

якщо , то . ▼

Приклад 2.38. Знайти всі значення параметра a, при кожному з яких нерівність справджується при всіх дійсних значеннях x.

Нехай після введення зміни дістанемо рівносильну систему

Функція набуває додатних значень на у таких випадках:

Відповідь:


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.074 сек.)