|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Решение типовых примеров. Пример 1.Найти частное решение уравнения =6x+sinx, удовлетворяющее начальным условиям у(0)=2; =3Пример 1. Найти частное решение уравнения =6 x +sin x, удовлетворяющее начальным условиям у (0)=2; =3. Решение Введем подстановку р (x) = . Тогда (x)= . Получим уравнение: (x) = 6 x +sin x, Интегрируя его, найдем р =3 x − cos x + C 1. (*) Заменим р (x) на и проинтегрируем еще раз. Получим общее решение данного уравнения: у = х − sin x + C 1 x + C 2. Используем начальные условия. Подставив в общее решение х =0 и у =2, получим: 2 = 0 − sin 0 + C 1∙0 + C 2, откуда С 2=2. Подставив в (*) х=0 и =3, будем иметь 3= − 1 + С 1, откуда С 1=4. Подставив найденные значения С 1 и С 2 в общее решение уравнения, получим частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям: у = х − sin x + 4 x + 2. Пример 2. Найти общее решение уравнения = . Решение Правая часть заданного уравнения не содержит явным образом функцию у. Положим = p, где р = р (х). Тогда = . Имеем: = − уравнение с разделяющимися переменными ; = Интегрируя последнее уравнение, получим: ln p = ln (1+ x) + ln C 1 или р = С 1(1+ х). Так как р = = , то подставив это выражение в последнее равенство получим dy = C 1(1+ x) dx. Интегрируя еще раз, получим общее решение заданного уравнения: у = С 1(х + ) + С 2. Пример 3. Найти общее решение уравнения у – 2 = 0. Решение Введем подстановку = p (где р = р (у)), тогда = p . Получим: ру − 2 р =0. Полученное уравнение есть дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Решая его, получим: . Проинтегрировав, будем иметь: ln | p | = 2 ln | y | + ln| C 1|, откуда получаем р = С 1 у . Учитывая, что р = = , получим = С 1 dx. Проинтегрировав последнее равенство, получим общее решение заданного уравнения: = С 1 х + С 2, Или у = . При сокращении на р было потеряно решение уравнения р = =0, т.е. у = С =const. В данном случае оно содержится в общем решении, т.к. получается из него при С 1=0 (за исключением решения у =0), а поэтому особых решений этого уравнения нет.
Пример 4 - 6. Найти частные решения следующих дифференциальных уравнений второго порядка при заданных начальных условиях: 1) 2) 3) Решение 1) Характеристическое уравнение имеет два различных вещественных корня k 1=2, k 2=4, поэтому общее решение этого дифференциального уравнения записывается в виде , где С 1, С 2 – произвольные постоянные. Отсюда поэтому, основываясь на начальных условиях, получаем , т.е. С 1+ С 2=1 и , т.е. 2 С 1+4 С 2=2 Решая систему уравнений получаем С 1=1, С 2=0. Частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, приобретает вид 2) Характеристическое уравнение имеет два различных вещественных корня k 1= k 2=4, поэтому общее решение соответствующего дифференциального уравнения записывается в виде , откуда Учитывая начальные условия, получаем систему уравнений для определения С 1, С 2: Отсюда С 1=1, С 2=1, поэтому искомое частное решение имеет вид 3) Характеристическое уравнение имеет комплексные корни: k 1=2+3 i, k 1=2−3 i. В этом случае решение соответствующего дифференциального уравнения записывается в виде . У нас , поэтому общее решение заданного дифференциального уравнения примет вид . Отсюда . Таким образом, для определения значений С 1, С 2, исходя из начальных условий, получаем систему уравнений решая которую имеем С 1=0, Итак, искомое частное решение приобретает вид . Вопросы для самоконтроля 1. Дайте определения дифференциального уравнения первого порядка, его общего и частного решения. 2. Дайте определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными; изложите метод нахождения его общего решения. 3. Дайте определение однородного дифференциального уравнения; изложите метод нахождения его общего решения. 4. Дайте определение линейного дифференциального уравнения первого порядка; изложите метод подстановки для нахождения его общего решения. 5. Дайте определение линейного дифференциального уравнения второго порядка (однородного и неоднородного). 6. Выпишите общее решение линейного однородного уравнения второго порядка для случаев: а) действительных и различных корней характеристического уравнения; Основная литература 1. Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб. Для вузов. - 3-е изд., стер. - М.: Высш.школа. 1996. - гл. 3 §2; гл. 4 § 1, 3-11 2. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики: Учебник. - М.: «Медицина» 1998. (Учебная литература для студентов медицинских вузов). Дополнительная литература 1. Щипачев В.С. Начала высшей математики. М.«Дрофа». 2002. 2. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. М. «Владос». 2002. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.009 сек.) |