|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ. Курский государственный технический университетМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Курский государственный технический университет Кафедра высшей математики
Р азвитие И ндивидуального Т ворческого М ышления
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Индивидуальные задания к модулю №15.1
Курск 2002
Составители: Е.А.БОЙЦОВА, В.И.ДРОЗДОВ
УДК 510(083)
Рецензент: Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики.Дмитриев В.И
Операционное исчисление. Методические указания к выполнению модуля 15.1/ Курск. гос. техн. ун.-т; Сост. Е.А Бойцова., В.И. Дроздов. Курск, 2002. 26 с.
Работа предназначена для студентов всех специальностей.
Библиогр. 6 назв.
Текст печатается в авторской редакции
ИД № 06430 от 10.12.2001. ПЛД № 50-25 от 1. 04. 97. Подписано в печать. Формат 60х84 1/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,56. Уч. изд. л.0,52. Тираж 100 экз. Заказ. Курский государственный технический университет. Издательско-полиграфический центр Курского государственного технического университета. 305040 г. Курск, ул. 50 лет Октября, 94. СОДЕРЖАНИЕ Общие указания……………………………………………………… 4 Общие теоретические положения……………………….…………...4 Теоретические вопросы………………………………………………8 Задание №1…………………………………………………………..9 Задание №2…………………………………………………………..9 Задание №3………………………………………………………… 15 Задание №4………………………………………………………… 18 Задание №5………………………………………………………… 20 Примеры выполнения заданий……………………………………..23 Библиографический список……………………………………….. 26
ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ
Настоящее пособие предназначено для студентов, изучающих курс операционного исчисления и работающих в системе «Ритм». Оно содержит теоретические вопросы, теоретические упражнения и расчетные задания к модулю 15.1 – «Операционное исчисление». Самостоятельное выполнение этих заданий послужит закреплению у студентов умения использовать теорию преобразования Лапласа в прикладных вопросах высшей математики. Теоретические сведения по данному разделу курса высшей математики см. в работах [1,3,4,5].
ОБЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Определение. Любая комплексная функция f (t) действительного аргумента t называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям: 1) f (t) – кусочно-непрерывная функция, т.е. на любом конечном отрезке имеет лишь конечное число точек разрыва 1-го рода; 2) f (t)=0 при t <0; 3) f (t) – функция ограниченного роста, т. е. существуют такие постоянные M >0 и s, что для всех t выполняется соотношение | f (t) |< М×еst (1) Нижняя грань s 0 всех чисел s, для которых справедливо неравенство (1), называется показателем роста функции f (t). Простейшей функцией-оригиналом является так называемая единичная функция Хевисайда: Очевидно, умножение функции j (t) на h (t) “гасит” эту функцию при t <0 и оставляет без изменения при при t ³0, т. е. Определение. Изображением функции f (t) (по Лапласу) называется функция комплексного переменного p=s+is, определяемая соотношением: (2) где интеграл берется по положительной полуоси. Фразу “функция f (t) имеет своим изображением F (p)” будем записывать символом: f (t) ÷ F (p) или F (p) ÷ f (t). Теорема 1. Для всякого оригинала f (t) изображение F (p) определено в полуплоскости Re p>s 0, где s 0 - показатель роста для f (t), и является в этой полуплоскости аналитической функцией. Теорема 2. Если функция f является оригиналом и F (p) служит ее изображением, то в любой точке t, в которой функция f непрерывна, справедливо равенство: (3) где интеграл берется вдоль любой прямой Re p=а>s 0 и понимается в смысле главного значения, т. е. как предел интеграла вдоль отрезка [ a-ib; a+ib ] при b ®¥. Теорема 3. Оригинал f (t) вполне определяется своим изображением F (p) с точностью до значений в точках разрыва f (t). Теорема разложения. Пусть функция F (p): 1) мероморфна и правильна в некоторой полуплоскости Re p>s 0; 2) существует система окружностей Сп: | p |< Rn, R 1< R 2<…< Rn ®¥, на которой F (p) стремится к нулю равномерно относительно arg p; 3) для любого а > s 0 абсолютно сходится интеграл Тогда оригиналом F (p) служит (умноженная на h (t)) функция (4) где сумма вычетов берется по всем особым точкам рk функции F (p) в порядке неубывания их модулей. 1. Свойство линейности. Для любых (комплексных) постоянных a и b: a×f (t)+ b×g (t)¸ a×F (p)+ b×G (p). 2. Теорема подобия. Для любого постоянного a >0 (5) 3. Дифференцирование оригинала. Если функция f (t) непрерывна при t >0 и f’ (t) или вообще f (п) (t) является оригиналом, то f’ (t) ÷ pF (p)- f (0) (6) или f (п) (t) ÷ pnF (p)- pn-1f (0)- pn-2f¢ (0)-…- f (n-1) (0), (7) где под f k (0) понимается правое предельное значение . 4. Дифференцирование изображения: Дифференцирование изображения сводится к умножению на – t оригинала, или вообще F(п) (p) ÷ (-1) пtnf (t). (8) 5. Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на р (9) 6. Интегрирование изображения. Если интеграл сходится, то он служит изображением функции f (t)/ t: (10) (интегрирование изображения равносильно делению на t оригинала). 7. Теорема запаздывания. Для любого положительного t f (t-t) ÷ е-рt×F (p) (11) (включение оригинала с запаздыванием на t равносильно умножению изображения на е-рt). 8. Теорема опережения. Для любого положительного t (12) 9. Теорема смещения. Для любого комплексного р 0 × f (t) ÷ F (p-p 0) (13) (“смещение” изображения на р 0 равносильно умножению оригинала на ). 10. Теорема умножения (Э. Борель) (или теорема о свертке). Произведение двух изображений F (p) и G (p) является изображением, причем (14) 11. Интеграл Дюамеля. (15) Кроме того, имеют место следующие предельные соотношения: 1) 2) если существует предел 3) если сходится несобственный интеграл Таблица оригиналов и их изображений
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 1. Преобразование Лапласа. Функция-оригинал. Существование и аналитичность преобразования Лапласа. 2. Свойства преобразования Лапласа (линейности, подобия, смещения, запаздывания). 3. Дифференцирование оригинала и изображения. 4. Интегрирование оригинала и изображения. 5. Понятие свертки. Изображение свертки. Интеграл Дюамеля. 6. Методы отыскания оригинала по изображению. 7. Решение линейных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методом. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.009 сек.) |