АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

П.2.3. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах

Читайте также:
  1. Вычисление длины дуги кривой
  2. Вычисление композиций точек удвоения
  3. Вычисление концентрации шлаков и отравляющих осколков.
  4. Вычисление координат вершин хода.
  5. Вычисление множеств точек удвоения заданной эллиптической кривой.
  6. Вычисление множества точек удвоения заданной эллиптической кривой.
  7. Вычисление наращенной суммы долга
  8. Вычисление объема и площади тела вращения
  9. Вычисление определенных интегралов.
  10. Вычисление определителей.
  11. Вычисление периода решётки.
  12. Вычисление площадей плоских фигур

Цилиндрическими координатами точки M (x, y, z) называются три числа (r,φ, z), где z – аппликата точки М, а r и φ – полярные координаты проекции точки М (т.е. точки M º(х, у,0)) на плоскости Оху. С декартовыми координатами они связаны соотношениями:, где 0£j<2p, 0£r<+¥, -¥<z<+¥. Якобиан перехода к цилиндрическим координатам (как и к полярным координатам на плоскости) J = r, в чем не трудно убедиться самостоятельно. Из (4) получаем формулу перехода к цилиндрическим координатам в тройном интеграле:

 

(5)

Цилиндрические координаты удобно применять в случае, когда область интегрирования содержит следующие поверхности:

а) цилиндр x 2+ y 2= R 2, где R - радиус, а уравнение цилиндра принимает вид r = R;

б) конус z 2= x 2+ y², уравнение которого в цилиндрических координатах r = z;

в) параболоид вращения z = x 2+ у ², уравнение которого имеет вид z= r²,

или если подынтегральная функция содержит выражения вида x 2+ y 2= r ²

На практике для расстановки пределов интегрирования в тройном интеграле в цилиндрических координатах поступают так же, как и в декартовых координатах. Область G, уравнения границ которой переведены в цилиндрические координаты, проектируется на плоскость Оху в область D, а в области D вводятся полярные координаты.

 

Пример 1: Перейти к цилиндрическим координатам и вычислить тройной интеграл, где G - объем, ограниченный цилиндром x 2+ y 2=1 и плоскостями x + y + z =2 и z =0.

Решение: Вцилиндрических координатах уравнение цилиндра имеет вид r =1, уравнение наклонной плоскости – r (cos φ +sin φ)+ z =2, а подынтегральная функция равна r ². Область G ограничена снизу координатной плоскостью z =0, а сверху – наклонной плоскостью z =2-(cos φ +sin φ) (рис.8). Проекцией области G на плоскость Оху является круг единичного радиуса, граница которого r =1. Поэтому область D

Рис.8 задается неравенствами. В итоге получаем:

 

Пример 2. Вычислить, если область G ограничена плоскостями у =0, z =0, z = a и цилиндром x ²+ y ²=2 x.

Решение: Очевидно, что область G – часть цилиндра, лежащего в первом октанте и заключенного между плоскостями z =0 и z = a (рис.9). Его уравнение в цилиндрических координатах имеет вид r =2cos φ, а подынтегральная функция равна zr. Проекцией области G на плоскость Оху является половина круга единичного радиуса с центром на оси Ох в точке (1,0), находящаяся в первой четверти. Уравнение границы круга имеет вид r =2cos φ, а область D задается неравенствами:

 


 

 

Рис.9 Рис.10

 

Пример 3: Вычислить тройной интеграл, где область G ограничена плоскостью у =2 и параболоидом 2 у = x ²+ z².

Решение: Область G (рис.10) ограничена «справа» плоскостью у =2, а «слева» – поверхностью параболоида 2 у = x ²+ z², Эта область проектируется в область D плоскости Охz, ограниченную окружностью x ²+ z²=4. Последнее уравнение является линией пересечения плоскости у =2 и параболоида 2 у = x ²+ z². Введем цилиндрические координаты x = r cos φ, z = r sin φ, y = y и уравнение параболоида принимает вид у = r ²/2. Область D задается неравенствами. С учетом вышесказанного получаем

.

Пример 4: Вычислить интеграл, переходя к цилиндрическим координатам.

Решение: Как указывалось выше, пределы интегрирования в декартовых и цилиндрических координатах расставляются аналогично, поэтому внешние два интеграла определяют двойной интеграл по области D, а внутренний интеграл вычисляется от нижней границы области G (конуса) до ее верхней границы (плоскости z =1). Переведем уравнения границы области G в цилиндрические координаты, а в области D перейдем к полярным координатам. Из первых двух интегралов определяем, что область D – это половина круга, лежащая в первой и четвертой четвертях, т.к. х меняется от 0 до 1. Поэтому в полярных координатах область D имеет вид:.

 

Замечание: В более общем случае может быть использована следующая замена:

, здесь a и b – параметры. В этом случае J = abr.

 

 


1 | 2 | 3 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)