АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Оптимизация инвестиционного портфеля при наличии безрискового актива

Читайте также:
  1. B. Взаимодействие с бензодиазепиновыми рецепторами, вызывающее активацию ГАМК – ергической системы
  2. II. Оценка эффективности инвестиционного менеджмента.
  3. Активаторы процесса коррозии и ускорение разрушения металлов
  4. Активация жирных кислот
  5. Активация своего внутреннего центра, места Силы
  6. Анализ портфеля продуктов компании
  7. Анализ финансового риска инвестиционного проекта
  8. Анализ эффективности инвестиционного проекта
  9. Биосинтез белка. Активация аминокислот, трансляция. Ингибиторы синтеза белка. Влияние облучения на синтез белка.
  10. В. Активация плазминогена.
  11. Влияние показателей эластичности спроса на деньги и инвестиционного спроса на величину мультипликаторов фискальной политики
  12. ВНЕДРЕНИЕ СОВРЕМЕННЫХ ПОДХОДОВ И ОПТИМИЗАЦИЯ САНИТАРНО-ГИГИЕНИЧЕСКИХ МЕРОПРИЯТИЙ ПО ПРОФИЛАКТИКЕ ИСМП В ОРГАНИЗАЦИЯХ ЗДРАВООХРАНЕНИЯ

Оптимизация инвестиционного портфеля при наличии безрискового актива заключается в нахождении портфеля , такого, что луч – самый верхний луч множества инвестиционных возможностей комбинаций безрискового актива и портфелей.

С помощью портфеля можно построить комбинацию, соответствующую любой точке луча .

Заметим, что луч имеет самый большой угол наклона , а следовательно и , среди всевозможных лучей , .

 
 


 

 

 

 
 


Вспомним, что равен параметру (который определяется формулой ). Следовательно, задача нахождения оптимального портфеля сводится к максимизации параметра .

Математически задача максимизации параметра записывается следующим образом:

, (60)

, (61)

(62)

В этой оптимизационной задаче в качестве переменных выступают доли , , финансовых активов в портфеле. В качестве целевой функции выступает параметр , который в конечном счете зависит от долей , , (поскольку и ).

 

 

Рыночная модель

Заметим, что при решении задач оптимизации портфеля (44)-(47), (48)-(51), (60)-(62) используются ожидаемые доходности финансовых активов, дисперсии и ковариации . При достаточно большом числе видов финансовых активов, общее количество этих параметров становится очень большим ( ожидаемых доходностей, дисперсий и ковариаций). При этом основную роль в увеличении количества этих параметров при возрастании числа видов финансовых активов играет количество ковариаций. (Например, при .) Следовательно, решения задач оптимизации портфеля становятся очень громоздкими и трудоемкими при больших количествах видов финансовых активов.

Рыночная модель, рассматриваемая в данном параграфе, позволяет существенно уменьшить количество параметров, используемых при решении задач оптимизации портфеля.

Для того, чтобы описать рыночную модель, нам потребуется понятие рыночного портфеля.

Рыночный портфель – это портфель, в котором присутствуют финансовые активы всех видов, имеющихся в экономике, и в котором доли финансовых активов (в денежном выражении) равны долям финансовых активов в экономике в целом.

Будем обозначать рыночный портфель буквой , доходность рыночного портфеля – через , и стандартное отклонение доходности рыночного портфеля – через .

В соответствии с формулой (17), доходность рыночного портфеля определяется следующим образом:

, (63)

где количество всех видов финансовых активов в экономике, – доля финансового актива i -го вида в экономике в целом.

Замечание 10. На практике рыночный портфель часто заменяют индексным портфелем, содержащим достаточно большое количество финансовых активов, и под рыночной доходностью понимают доходность соответствующего индексного портфеля (например, доходность индекса ).

Рыночная модель имеет следующий вид:

, (64)

где и – константы, зависящие от вида финансового актива, – случайная величина, также зависящая от вида финансового актива.

Основные предположения рыночной модели – следующие:

1) ;

2) ;

3) .

Замечание 11. Первые два предположения рыночной модели – это стандартные предположения линейной регрессии.

Предположения рыночной модели интерпретируются следующим образом. Доходность финансового актива зависит от рыночной доходности (причем ожидаемая доходность финансового актива однозначно определяется ожидаемой рыночной доходностью по формуле: ). Однако, есть факторы, влияющие на доходность финансового актива, которые зависят только от специфики данного финансового актива, причем эти факторы для разных финансовых активов – независимы. Эти факторы описываются случайным отклонением .

Покажем, что в условиях рыночной модели для ковариации между доходностями финансовых активов видов и () справедлива формула:

. (65)

Ковариация по определению равна . Из равенства (64) и условия (1) рыночной модели вытекает, что и . Следовательно,

(66)

Здесь обозначение обозначает дисперсию соответствующей случайной величины. В силу условий (2) и (3) рыночной модели последние три слагаемые правой части равенства (66) равны нулю. Следовательно, равенство (66) сводится к равенству (65).

Формула (67) позволяет значительно уменьшить количество параметров в задачах оптимизации портфеля: вместо ковариаций используется коэффициентов .

Покажем, что в условиях рыночной модели для ковариации доходностей финансового актива и рыночного портфеля справедлива формула:

. (67)

Действительно, из равенства (64) и свойств (1) и (2) рыночной модели следует, что

Из соотношения (67) вытекает, что

. (68)

Замечание 12. С помощью формулы (64) можно определить коэффициент финансового актива также в тех случаях, когда условия рыночной модели не выполняются.

 

8.8. Разложение общего риска финансового актива на систематическую и собственную составляющие

Рыночная модель позволяет разложить общий риск финансового актива на две составляющие: систематический риск и собственный риск. Систематический риск – это риск, связанный с макроэкономическими факторами. Собственный риск – это риск, связанный с особенностями эмитента финансового актива.

Дисперсия доходности финансового актива (по определению) равна

Из уравнения (64) и из предположения (1) рыночной модели вытекает, что . Следовательно,

(69)

Поскольку, согласно предположению (2) рыночной модели , из (69) следует, что

. (70)

Слагаемое описывает систематический риск, а описывает собственный риск финансового актива.

Покажем, что собственный риск диверсифицируем.

Пусть – некоторый портфель, состоящий из финансовых активов, а , , – доли финансовых активов в портфеле .

Покажем, что в условиях рыночной модели для доходности портфеля имеет место равенство

, (71)

где

, (72)

, (73)

, (74)

причем для выполняются следующие два условия:

, (75)

. (76)

Умножив уравнение (64) на , и просуммировав полученные равенства по , получим:

. (77)

Равенство (71) очевидным образом следует из соотношения (77).

Докажем равенства (75), (76). Действительно, из формулы (74) и условий (1) и (2) рыночной модели следует, что

,

.

Замечание 13. Несложно показать, что параметры , и случайное отклонение , для которых выполняются соотношения (71), (75) и (76), единственны.

Замечание 14. С помощью равенств (71), (75) и (76) несложно показать, что

. (78)

где – ковариация доходностей портфеля и рыночного портфеля. (Доказательство равенства (78) аналогично доказательству равенства (68).)

Из равенств (71), (75) и (76) следует, что

, (79)

Равенство (79) доказывается аналогично равенству (70).

Равенство (79) описывает разложение общего риска портфеля на систематическую и собственную составляющие. – это систематический риск, а – собственный риск портфеля .

Из формулы (74) следует, что

Итак, для дисперсии портфеля мы получили следующую формулу:

. (80)

С помощью формулы (8) докажем, что систематический риск диверсифицируем, т.е. при достаточно большом количестве видов финансовых активов в портфеле можно добиться того, чтобы дисперсия была достаточно малой.

Для простоты предположим, что доли , , финансовых активов в портфеле одинаковы. Тогда , . Поставив в формулу (8), получим

Итак, мы получили следующее неравенство:

(81)

При достаточном большом количестве финансовых активов на рынке можно считать, что . Тогда (при ) из неравенства (81) следует, что при .

Из сходимости при и из формулы (79) следует, что при . Поэтому в финансовом анализе принято считать что в достаточно хорошо диверсифицированном портфеле собственный риск пренебрежимо мал, и общий риск состоит только из систематической составляющей, т.е

. (82)

Общий риск

 

 

Систематический риск

 

 

Замечание 15. Подставив формулу (73) в равенство (82), получим

. (83)

Формулу (83) удобно использовать для решения задач оптимизации портфеля.

Общий риск

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.015 сек.)