АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Об’єми тіл обертання

Читайте также:
  1. d. абсолютне вивільнення оборотних активів;
  2. V. ГОРТАНЬ. ТРАХЕЯ. БРОНХИ
  3. V. УЗАГАЛЬНЕННЯ Й СИСТЕМАТИЗАЦІЯ ЗНАНЬ
  4. А. Моносахариди
  5. АБРАЗИВНІСТЬ ГІРСЬКИХ ПОРІД
  6. Автоматичні апарати. Будова, монтаж і обслуговування. Управління електроприводом з їх допомогою
  7. Алгоритм розрахунку ефемерид навігаційного супутника GPS на даний момент часу
  8. Альтернативні макроекономічні теорії.
  9. Аналіз ділової активності та рентабельності підприємства
  10. Аналіз існуючих машин для подрібнення рулонів стеблових кормів і вибір об’єкта розробки
  11. Архітектурна специфіка розосереджених та однорангових мереж
  12. АСИНХРОННИЙ ТАХОГЕНЕРАТОР З НЕМАГНІТНИМ ПОРОЖНИСТИМ РОТОРОМ

 

Нехай функція неперервна і невід’ємна на відрізку . Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі OX плоскої фігури, обмеженої графіком функції , відрізками прямих , , , виразиться інтегралом або .

Якщо ж плоска фігура, обмежена лініями , , , , обертається навколо осі OY, то об’єм одержаного тіла обертання обчислюється за формулою

.

 

Приклад. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, обмеженої лініями і .

Лінії і і перетинаються в точках і .

Об’єм V утвореного тіла обертання знаходимо як різницю об’ємів , де V 1 — об’єм тіла, утвореного обертанням трикутника OAB навколо осі OX, а V 2 — об’єм тіла, що одержується при обертанні навколо осі OX криволінійної трапеції, обмеженої лініями , , .

 

 

.

Отже, (куб. од.).

Нехай, тіло розміщене в просторі між площинами і кожний переріз цього тіла площиною, перпендикулярною до осі , має площу , де — інтегровна на функція. Об’єм такого тіла можна обчислити за формулою . Аналогічні формули матимуть місце, якщо замість осі взяти або .

 

Приклад. Обчислити об’єм тіла, обмеженого еліптичним параболоїдом і площиною .

Кожний переріз тіла площиною, перпендикулярною до осі , єеліпсом. В перерізі довільною площиною маємо еліпс

 

 

або

Як відомо, площа еліпса обчислюється за формулою . Тому .

Отже,

, (куб.од.).

 

Площа поверхні обертання

 

Якщо крива задана на відрізку обертається навколо осі , то площу отриманої поверхні обертання можна обчислити за формулою

або .

У випадку, коли крива задана у параметричному вигляді , де задані функції на відрізку , площа поверхні обертання знаходиться за формулою .

Якщо крива задана рівнянням у полярній системі координат , то .

 

Приклад. Знайти площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі OX кривої .

 

 

Скористаємося формулою . Знайдемо . Тоді відповідно отримаємо

, (кв. од.).

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)