АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Теоретичні відомості. Практичне заняття 1. Векторний простір

Читайте также:
  1. IX. У припущенні про розподіл ознаки по закону Пуассона обчислити теоретичні частоти, перевірити погодженість теоретичних і фактичних частот на основі критерію Ястремського.
  2. Азербайджанська Республіка: загальні відомості
  3. Виникнення і природа свідомості
  4. Виникнення і природа свідомості. Свідомість і мова.
  5. Виникнення свідомості
  6. Властивості наукової свідомості людини та систематизація науки
  7. Гідність як категорія моральної свідомості
  8. Деформації правосвідомості
  9. Деякі відомості з історії анатомічної термінології
  10. Ємельянова І. Апеляційний і касаційний перегляд судових рішень в цивільному судочинстві: теоретичні та практичні аспекти // Право України. – 2004.–№2.
  11. Загальні відомості
  12. Загальні відомості

Практичне заняття 1. Векторний простір. Базис і розмірність векторного простору

 

Теоретичні відомості

Нехай P – деяке поле, елементи якого будемо називати скалярами, V – непорожня множина.

Означення 1. Векторним простором над полем Р називається множина V, що містить елемент 0, на якій задана бінарна алгебраїчна операція додавання і для кожного P означена операція wl : V®V, що зіставляє елементу a V елемент a V, причому виконуються такі властивості (аксіоми векторного простору):

v1: (a+(b+c)=(a+b)+c) – операція додавання асоціативна;

v2: (a+b=b+a) – операція додавання комутативна;

v3: – існує нульовий елемент відносно додавання;

v4: – для кожного елемента множини V існує протилежний елемент;

v5: – операція множення на скаляри асоціативна;

v6: – операція множення на скаляри дистрибутивна відносно операції додавання елементів множини V;

v7: – операція множення на скаляри дистрибутивна відносно операції додавання скалярів;

v8: – одиниця поля P є одиничним елементом відносно операції множення на скаляри.

Нехай V – векторний простір над полем P і а12,...,аm – довільна скінченна множина векторів з V.

Означення 2. Лінійною комбінацією векторів а12,...,аm називається будь-яка сума l1а1+l2а2+...+lmam, де l1,l2,...,lm P. Множина всіх лінійних комбінацій векторів а12,...,аm називається лінійною оболонкою цих векторів і позначається L(а12,...,аm), тобто L(а12,...,аm)={l1а1+l2а2+...+lmam |l1,l2,...,lm P}.

Означення 3. Система векторів а12,...,аm називається лінійно залежною, якщо існують такі скаляри l1,l2,...,lm P, не всі одночасно рівні нулю, що l1а1+l2а2+...+lmаm=0. Система векторів а12,...,аm називається лінійно незалежною, якщо із рівності l1а1+l2а2+...+lmаm=0 випливає рівність l1=l2=...=lm=0.

Нехай V – векторний простір над полем Р. Якщо існує скінченна множина векторів а1,...,аn така, що V=L(а1,...,аn), то говорять, що простір V породжується векторами а1,...,аn, і ця множина векторів називається системою твірних простору V.

Означення 4. Векторний простір V називається скінченновимірним, якщо він породжується скінченною множиною векторів. Базисом скінченновимірного векторного простору називається будь-яка скінченна лінійно незалежна система векторів, яка породжує весь простір.



Теорема. Будь-який скінченновимірний векторний простір має базис, причому будь-які два базиси простору складаються з однакової кількості елементів.

Означення 5. Розмірністю ненульового скінченновимірного векторного простору називається кількість векторів довільного базису цього простору. Розмірність нульового векторного простору V={0} вважається рівною нулю. Розмірність простору V позначається символом dimV.

Означення 6. Якщо b1,...,bn – фіксований базис векторного простору V над полем Р і а=a1b1+...+anbn (aiÎР), то коефіцієнти a1,...,an називаються координатами вектора а відносно базису b1,...,bn. Арифметичний n-вимірний вектор (a1,...,an) називається координатним рядком вектора а.

 

Література: [1]р.8,§§31-34; [2]гл.7, §§1-4; [8] лекція 1; [9]гл.1, §1; [10]гл.8,§20; [11]р.6,§§29-32.

 

Приклад 1. Перевірити, чи утворюють вектори а1=(1,1,–1), а2=(1,2,1), а3=(3,2,1) базис 3-вимірного арифметичного простору V3.

Розв’язання.1 спосіб. Виходячи із означення базису векторного простору, перевіримо спочатку, чи є вектори лінійно незалежними. Припустимо, що деяка їх лінійна комбінація дорівнює нульовому вектору: l1а1+l2а2+l3a3=0 і з’ясуємо, при яких значеннях коефіцієнтів це можливо. Підставляючи компоненти векторів, будемо мати: l1(1,1,–1)+ +l2(1,2,1)+l3(3,2,1)=(0,0,0). Використовуючи умову рівності двох арифметичних векторів (мають бути рівними їх відповідні компоненти), для знаходження коефіцієнтів отримаємо систему рівнянь: . Розв’яжемо її, використовуючи формули Крамера: . ; (останні три визначники рівні нулю, бо кожен з них містить нульовий стовпець вільних членів системи). Отже, система має єдиний розв’язок а це означає, що система векторів а1, а2, a3 лінійно незалежна, бо із рівності нулю лінійної комбінації цих векторів випливає, що це можливо лише тоді, коли всі коефіцієнти цієї комбінації рівні нулю. Покажемо далі, що дані вектор породжують векторний простір V3, тобто що довільний вектор із цього простору можна подати у вигляді лінійної комбінації векторів а1, а2, a3: b=l1а1+l2а2+l3a3. Підставляючи в останню рівність компоненти векторів, для обчислення невідомих коефіцієнтів отримаємо систему: . Оскільки головний визначник цієї системи , то при довільних значеннях компонент система має єдиний розв’язок, тобто довільний вектор b простору V3 подається через вектори а1, а2, a3. Отже, дані вектори утворюють базис простору V3.

‡агрузка...

2 спосіб. Перевіримо спочатку, чи є дані вектори лінійно незалежними. Для цього із компонент векторів утворимо матрицю і знайдемо її ранг, звівши її за допомогою елементарних перетворень до ступінчастого вигляду: . Оскільки ранг цієї матриці дорівнює 3, то вектори а1, а2, a3 є лінійно незалежними. Отже, вони утворюють базис тривимірного арифметичного простору V3, оскільки його розмірність дорівнює 3, тому в ньому будь-які три лінійно незалежні вектори утворюють базис.

Приклад 2. Знайти координати вектора b=(4,1,–4) відносно базису а1=(1,1,–1), а2=(1,2,1), а3=(3,2,1) 3-вимірного арифметичного простору V3.

Розв’язання. Вектори а1, а2, a3 справді утворюють базис простору V3 (див. приклад 1). Для знаходження координат вектора b відносно цього базису подамо його у вигляді b=l1а1+l2а2+l3a3 і знайдемо невідомі коефіцієнти (це й будуть координати вектора b). Підставляючи компоненти векторів, будемо мати: (4,1,–4)=l1(1,1,–1)+ +l2(1,2,1)+l3(3,2,1). Використовуючи умову рівності двох арифметичних векторів (мають бути рівними їх відповідні компоненти), для знаходження коефіцієнтів отримаємо систему рівнянь: . Розв’яжемо її, використовуючи формули Крамера: . ; , , . Отже, , тому вектор b має відносно базису а1, а2, a3 координати (3,–2,1).

 

Завдання для самостійної роботи

1. З’ясувати, чи утворює векторний простір над полем дійсних чисел множина всіх радіус-векторів площини, кінці яких лежать: а) в 1-й або 2-й координатних чвертях; б) в 1-й або 3-й координатних чвертях; в) на фіксованій прямій, що проходить через початок координат.

2. Знайти базис і ранг скінченної системи векторів а1=(1,0,0,–1), а2= =(2,1,1,0), а3=(1,1,1,1), а4=(1,2,3,4), а5=(0,1,2,3) 4-вимірного арифметичного векторного простору V4.

3. Перевірити, чи утворюють вектори а1=(1,2,1), а2=(2,3,3), а3=(3,1,7) базис 3-вимірного арифметичного простору V3, і якщо так, то знайти координати вектора b=(3,3,5) відносно цього базису.

4. Довести, що матриці , , , утворюють базис векторного простору квадратних матриць 2-го порядку, та знайти координати відносно цього базису матриці .

 

 

Р е к о м е н д о в а н а л і т е р а т у р а

1. Завало С.Т. і ін. Алгебра і теорія чисел, ч.1.– К.: Вища школа, 1974.

2. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979.

3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры.– М.: Наука, 1975.

4. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1975.

5. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения.– М.: Наука, 1979.

6. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.– М.: Наука, 1979.

7. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.– М.: Изд-во МГУ, 1990.

8. Марач В.С., Крайчук О.В. Курс лекцій з лінійної алгебри.– Рівне, 2005.

9. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – М.: Наука, 1966.

10. Беклемишева Л.А. и др. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре.– М.: Наука, 1987.

11. Завало С.Т. і ін. Алгебра і теорія чисел. Практикум, ч.1.– К.: Вища школа, 1983.

 




При использовании материала, поставите ссылку на Студалл.Орг (0.012 сек.)