АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Изометрические вложения. Рефлексивность

Читайте также:
  1. Рефлексивность
  2. Свойства отношений. Рефлексивность, симметричность, транзитивность, эквивалентность.

 

Следующий результат устанавливает некоторые свойства двойственности.

 

Т е о р е м а 1. Пусть линейное нормированное пространство и замкнутый единичный шар в нем. Пусть также замкнутый единичный шар в . Тогда

I.

II. .

 

Д о к а з а т е л ь с т в о. Соотношение I следует из определения опера-торной нормы.

Для доказательства II фиксируем . Отображение определяет линейный функционал на . Кроме того,

 

.

 

Следовательно, определяет линейный непрерывный функционал и . С другой стороны, по одному из следствий теоремы Хана – Банаха найдется такой ,что и . Но тогда для будем иметь

 

 

Отсюда и, следовательно, .

œ

 

Из теоремы 1 следует, что каждый порождает элемент из . При этом отображение является изометрическим вложе-нием.

О п р е д е л е н и е. Если изометрическое вложение сюръек-тивно, то называется рефлексивным пространством.

Т е о р е м а 2. Если нормированные пространства и , то

.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, из теоремы 1 и определения нормы оператора получается

 

.

œ


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)