АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Прогнозирование. Пусть получены оценки параметров уравнения (7.11)

Читайте также:
  1. Анализ и прогнозирование товарооборота организаций общественного питания как части розничного товарооборота
  2. Влияние жизненного цикла товара на прогнозирование деятельности предприятия
  3. Вопрос 4. Финансовое прогнозирование
  4. Глава 7. Контроль и прогнозирование в марафонском беге
  5. ГЛАВА 8. ПРЕДВИДЕНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
  6. Криминалистическое прогнозирование
  7. Научно-техническое прогнозирование.
  8. Оценка адекватности тренда и прогнозирование
  9. Прогнозирование
  10. Прогнозирование
  11. Прогнозирование

 

Пусть получены оценки параметров уравнения (7.11). Задача прогнозирования заключается в определении возможного значения (прогноза) переменной x, объ- ясняемой этой моделью, при некоторых заданных значениях факторов z, которые не совпадают ни с одним из наблюдений в матрице Z. Более того, как прави- ло, z лежит вне области, представляемой матрицей Z. При этом предполагается,

что гипотезы g1g3 по-прежнему выполняются.

Обычно термин «прогнозирование» используется в случае, когда наблюдения i = 1 ,..., N в матрице Z даны по последовательным моментам (периодам) вре- мени, и заданные значения факторов z, для которых требуется определить прогноз x, относятся к какому-то будущему моменту времени, большему N (т.е. z лежит вне области, представляемой матрицей Z).

Методы прогнозирования могут быть различными. Если применяются отно- сительно простые статистические методы, как в данном случае, то часто исполь- зуют термин «экстраполирование». Если аналогичная задача решается для z, лежащих внутри области, представляемой наблюдениями в матрице Z (например, для «пропущенных» по каким-то причинам наблюдений), то используют термин

«интерполирование». Процедуры экстраполирования и интерполирования с ис- пользованием модели (7.11) с формальной точки зрения одинаковы.

Итак, задан некоторый zr = [ zr 1 ··· zrn 1], который отличается от всех zi,

i = 1 ,..., N (если i — обозначает момент времени, то r > N).

xr = zr α + ε r — истинное значение искомой величины,

x 0
r = zr α — ожидаемое значение,

xp
r = zra — искомый (точечный) прогноз.

Предполагаем, что гипотезы g1g4 выполнены как для i = 1 ,..., N, так и для r > N.

Это линейный (относительно случайных величин X) прогноз: xp (7. 26) z LX,

r = r

он не смещен относительно ожидаемого значения вслед за несмещенностью a:


E (xp) = x 0. Его ошибка ε p = xrxp


имеет нулевое математическое ожидание


r r r r


и дисперсию


 

 

σ2
p = σ


 

2 1+ zr. Z t Z. −1


 

z
r
t , (7.63)


 

 

7.4. Прогнозирование 245

которая минимальна на множестве всех возможных линейных несмещенных про- гнозов.


ε p
Действительно:


r = zr (α − a)+ ε r.


Поскольку случайные величины a и ε r не зависят друг от друга,


σ2 p 2.


r r 2


p = E. (ε r)


= E (zr (α − a)(α − a) zr)+ E. ε r. =


= zrMaz r+ σ2


(7. 29)

2 
= σ


zr (Z r Z)−1 z r.


r 1+ r

 

Эта дисперсия минимальна среди всех возможных дисперсий линейных несмещен- ных прогнозов вслед за аналогичным свойством оценок a. Это является прямым следствием того, что оценки МНК относятся к классу BLUE. Для того чтобы в этом

убедиться, достаточно в доказательстве данного свойства оценок a, которое приве- дено в п. 7.2, заменить c rна zr.

i
Следует иметь в виду, что ошибка любого расчетного по модели значения xc, являясь формально такой же: ε c = xixc, имеет также нулевое математическое

i i

ожидание, но принципиально другую, существенно меньшую, дисперсию:


σ2
i = σ


2 1 − zi. Z t Z. −1 t


z
.
i
Видно, что эта дисперсия даже меньше остаточной.

i
Действительно, как и прежде: ε c = zi (α − a)+ ε i. Но теперь случайные величины


a и ε i


коррелированы и поэтому:


 


 

 

σ2
i = σ


2 1+ zi (Z r Z)−1 r


 

←−−−→
+ 2 zi E ((α − a) ε i)

(7. 27)

= − L ε


g4

 
E (εε i) = σ oi,

где oii -йорт

=


z
i
= σ21+ zi (Z r Z)−1 z r− 2σ2 zi (Z r Z)−1 z r= σ21 − zi (Z r Z)−1 z r.

i i i

 

i
Величины 1 − zi (Z r Z)−1 z r(i = 1 ,..., N), естественно, неотрицательны, посколь- ку они являются диагональными элементами матрицы B из (7.32), которая поло- жительно полуопределена.

 

Структуру дисперсии ошибки прогноза (7.63) можно пояснить на примере n = 1. В этом случае (используются обозначения исходной формы уравнения ре- грессии, и все z — одномерные величины):


.

σ2 2


1 (zrz ¯)2.


i
p = σ


1+ +

N


z ˆ2


. (7.64)


 

 

246 Глава 7. Основная модель линейной регрессии

 

 

В этом легко убедиться, если перейти к обозначениям исходной формы урав- нения регрессии, подставить в (7.63) вместо zr и Z, соответственно,. zr 1.

и. Z 1 N. и сделать необходимые преобразования (правило обращения матрицы

(2 × 2) см. в Приложении A.1.2), учитывая, что


 −1

ξ ξ


 

1 ξ −ξ


 1 2

 


=  4

i
ξ1ξ4− ξ2ξ3


2 и Z r Z =  z ˆ2 + N z ¯2:


ξ3 ξ4


−ξ3 ξ1


 

  −1 


σ2 2


.. Z r Z N z ¯


zr =


p = σ


1+

 


zr 1


N z ¯


  

  

N 1

z
   


= σ21+ 1.


. 1 z ¯


  r  =


Z r ZN z ¯


zr 1 


  


. 2 1


z ¯


1 Z r Z 1

N
2... 2.


= σ2


zr − 2 z ¯ zr + N.  z ˆ i + N z ¯

i
1+  z ˆ2


= σ2


1

1+ +

N


( zr z ¯).

i
z ˆ2


 

Что и требовалось доказать.

 

Это выражение показывает «вклады» в дисперсию ошибки прогноза собствен- но остаточной дисперсии, ошибки оценки свободного члена и ошибки оценки угло- вого коэффициента. Первые две составляющие постоянны и не зависят от горизон- та прогнозирования, т.е. от того, насколько сильно условия прогноза (в частности, значение zr) отличаются от условий, в которых построена модель (в частности,


значение


z ¯). Третья составляющая — ошибка оценки углового коэффициента —


определяет расширяющийся конус ошибки прогноза.

Мы рассмотрели точечный прогноз. Если дополнительно к гипотезам g1g4 предположить выполнение гипотезы g5 для i = 1 ,..., N и для r > N, то можно построить также интервальный прогноз.

По формуле (7.27) ошибка прогноза имеет вид:

ε p
r = zr (α − a)+ ε r = zr L ε + ε r.

Таким образом, она имеет нормальное распределение:

ε p p 2

r = xrxrN (0, σ p).

Если бы дисперсия ошибки σ2была известна, то на основе того, что

xrxp


r

σ p


N (0, 1),


 

 

7.5. Упражнения и задачи 247


для xr можно было бы построить (1 − θ)100-процентный прогнозный интервал:


Таблица 7.1


xr ∈ [ xp ± σ p εˆ1


θ].


X Z 1 Z 2
65.7 26.8  
74.2 25.3  
  25.3  
66.8 31.1  
64.1 33.3  
67.7 31.2  
70.9 29.5  
69.6 30.3  
  29.1  
68.4 23.7  
70.7 15.6  
69.6 13.9  
63.1 18.8  
48.4 27.4  
55.1 26.9  
55.8 27.7  
58.2 24.5  
64.7 22.2  
73.5 19.3  
68.4 24.7  

 

r


2 2 t


−1 t


Вместо неизвестной дисперсии σ p = σ

берется несмещенная оценка


(1+ zr (Z Z)


zr)


s 2 2


t −1 t


p = s ˆ e (1 + zr (Z Z)


zr).


По аналогии с (7.44) можно вывести, что

xrxp


r

sp


tNn


−1.


Тогда в приведенной формуле прогнозного интервала необ- ходимо заменить σ p на sp и εˆ1−θна t ˆ Nn −1, 1−θ:

xr ∈. p..

xr ± spt ˆ Nn −1, 1−θ

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.017 сек.)