АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Прогнозирование. Пусть получены оценки параметров уравнения (7.11)

Читайте также:
  1. Анализ и прогнозирование товарооборота организаций общественного питания как части розничного товарооборота
  2. Влияние жизненного цикла товара на прогнозирование деятельности предприятия
  3. Вопрос 4. Финансовое прогнозирование
  4. Глава 7. Контроль и прогнозирование в марафонском беге
  5. ГЛАВА 8. ПРЕДВИДЕНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
  6. Криминалистическое прогнозирование
  7. Научно-техническое прогнозирование.
  8. Оценка адекватности тренда и прогнозирование
  9. Прогнозирование
  10. Прогнозирование
  11. Прогнозирование

 

Пусть получены оценки параметров уравнения (7.11). Задача прогнозирования заключается в определении возможного значения (прогноза) переменной x, объ- ясняемой этой моделью, при некоторых заданных значениях факторов z, которые не совпадают ни с одним из наблюдений в матрице Z . Более того, как прави- ло, z лежит вне области, представляемой матрицей Z . При этом предполагается,

что гипотезы g1g3по-прежнему выполняются.

Обычно термин «прогнозирование» используется в случае, когда наблюдения i = 1, . . . , N в матрице Z даны по последовательным моментам (периодам) вре- мени, и заданные значения факторов z, для которых требуется определить прогноз x, относятся к какому-то будущему моменту времени, большему N (т.е. z лежит вне области, представляемой матрицей Z ).

Методы прогнозирования могут быть различными. Если применяются отно- сительно простые статистические методы, как в данном случае, то часто исполь- зуют термин «экстраполирование». Если аналогичная задача решается для z, лежащих внутри области, представляемой наблюдениями в матрице Z (например, для «пропущенных» по каким-то причинам наблюдений), то используют термин

«интерполирование». Процедуры экстраполирования и интерполирования с ис- пользованием модели (7.11) с формальной точки зрения одинаковы.

Итак, задан некоторый zr= [zr1 ··· zrn 1], который отличается от всех zi,

i = 1, . . . , N (если i — обозначает момент времени, то r > N ).

xr= zrα + εr— истинное значение искомой величины,

x0
r= zrα — ожидаемое значение,

xp
r= zra — искомый (точечный) прогноз.

Предполагаем, что гипотезы g1g4выполнены как для i = 1, . . . , N , так и для r > N .

Это линейный (относительно случайных величин X ) прогноз: xp(7.26)z LX ,

r = r

он не смещен относительно ожидаемого значения вслед за несмещенностью a:


E(xp) = x0. Его ошибка εp= xrxp


имеет нулевое математическое ожидание


r r r r


и дисперсию


 

 

σ2
p= σ


 

2 1+ zr.ZtZ.−1


 

z
r
t , (7.63)


 

 

7.4. Прогнозирование 245

которая минимальна на множестве всех возможных линейных несмещенных про- гнозов.




εp
Действительно:


r= zr(α − a)+ εr.


Поскольку случайные величины a и εrне зависят друг от друга,


σ2 p 2.


r r 2


p= E.(εr)


= E(zr(α − a)(α − a) zr )+ Er. =


= zrMazr+ σ2


(7.29)

2 
= σ


zr(ZrZ)−1zr.


r 1+ r

 

Эта дисперсия минимальна среди всех возможных дисперсий линейных несмещен- ных прогнозов вслед за аналогичным свойством оценок a. Это является прямым следствием того, что оценки МНК относятся к классу BLUE. Для того чтобы в этом

убедиться, достаточно в доказательстве данного свойства оценок a, которое приве- дено в п. 7.2, заменить crна zr.

i
Следует иметь в виду, что ошибка любого расчетного по модели значения xc, являясь формально такой же: εc= xixc, имеет также нулевое математическое

i i

ожидание, но принципиально другую, существенно меньшую, дисперсию:


σ2
i= σ


2 1 − zi.ZtZ.−1 t


z
.
i
Видно, что эта дисперсия даже меньше остаточной.

i
Действительно, как и прежде: εc= zi(α − a)+ εi. Но теперь случайные величины


a и εi


коррелированы и поэтому:


 


 

 

σ2
i = σ


2 1+ zi (ZrZ)−1 r


 

←−−−→
+ 2ziE((α − a) εi)

(7.27)

= −Lε


g4

E(εεi ) = σ oi ,

где oi i-йорт

=


z
i
= σ21+ zi (ZrZ)−1zr− 2σ2zi(ZrZ)−1zr= σ21 − zi (ZrZ)−1zr.

i i i

 

i
Величины 1 − zi(ZrZ)−1zr(i = 1, . . . , N ), естественно, неотрицательны, посколь- ку они являются диагональными элементами матрицы B из (7.32), которая поло- жительно полуопределена.

‡агрузка...

 

Структуру дисперсии ошибки прогноза (7.63) можно пояснить на примере n = 1. В этом случае (используются обозначения исходной формы уравнения ре- грессии, и все z — одномерные величины):


.

σ2 2


1 (zrz¯)2.


i
p= σ


1+ +

N


zˆ2


. (7.64)


 

 

246 Глава 7. Основная модель линейной регрессии

 

 

В этом легко убедиться, если перейти к обозначениям исходной формы урав- нения регрессии, подставить в (7.63) вместо zr и Z , соответственно, .zr 1.

и .Z 1N. и сделать необходимые преобразования (правило обращения матрицы

(2 × 2) см. в Приложении A.1.2), учитывая, что


 −1

ξ ξ


 

1 ξ −ξ


 1 2

 


=  4

i
ξ1ξ4− ξ2ξ3


2 и ZrZ = zˆ2 + N z¯2 :


ξ3 ξ4


−ξ3 ξ1


 

  −1 


σ2 2


. . ZrZ N z¯


zr =


p= σ


1+

 


zr 1


N z¯


  

  

N 1

z
   


= σ21+ 1 .


. 1 z¯


  r  =


ZrZ N z¯


zr 1 


  


. 2 1


z¯


1 ZrZ 1

N
2.. . 2 .


= σ2


zr− 2z¯zr+ N.zˆi+ N z¯

i
1+ zˆ2


= σ2


1

1+ +

N


(zrz¯) .

i
zˆ2


 

Что и требовалось доказать.

 

Это выражение показывает «вклады» в дисперсию ошибки прогноза собствен- но остаточной дисперсии, ошибки оценки свободного члена и ошибки оценки угло- вого коэффициента. Первые две составляющие постоянны и не зависят от горизон- та прогнозирования, т.е. от того, насколько сильно условия прогноза (в частности, значение zr) отличаются от условий, в которых построена модель (в частности,


значение


z¯). Третья составляющая — ошибка оценки углового коэффициента —


определяет расширяющийся конус ошибки прогноза.

Мы рассмотрели точечный прогноз. Если дополнительно к гипотезам g1g4предположить выполнение гипотезы g5для i = 1, . . . , N и для r > N , то можно построить также интервальный прогноз.

По формуле (7.27) ошибка прогноза имеет вид:

εp
r = zr(α − a)+ εr= zrLε + εr.

Таким образом, она имеет нормальное распределение:

εp p 2

r= xrxrN (0, σp).

Если бы дисперсия ошибки σ2была известна, то на основе того, что

xr xp


r

σp


N (0, 1),


 

 

7.5. Упражнения и задачи 247


для xr можно было бы построить (1 − θ)100-процентный прогнозный интервал:


Таблица 7.1


xr∈ [xp± σpεˆ1


θ] .


X Z1 Z2
65.7 26.8
74.2 25.3
25.3
66.8 31.1
64.1 33.3
67.7 31.2
70.9 29.5
69.6 30.3
29.1
68.4 23.7
70.7 15.6
69.6 13.9
63.1 18.8
48.4 27.4
55.1 26.9
55.8 27.7
58.2 24.5
64.7 22.2
73.5 19.3
68.4 24.7

 

r


2 2 t


−1 t


Вместо неизвестной дисперсии σp= σ

берется несмещенная оценка


(1+ zr(Z Z)


zr)


s2 2


t −1 t


p = sˆe (1 + zr (Z Z)


zr).


По аналогии с (7.44) можно вывести, что

xrxp


r

sp


tN n


−1.


Тогда в приведенной формуле прогнозного интервала необ- ходимо заменить σpна spи εˆ1−θна tˆNn−1, 1−θ:

xr∈ . p ..

xr ± sptˆNn−1, 1−θ

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |


При использовании материала, поставите ссылку на Студалл.Орг (0.035 сек.)