Одношаговые методы

Метод Эйлера (метод ломаной Эйлера)- простейший явный численный метод. Он основан на разложении искомой функции в ряд Тейлора в окрестностях узлов x_i, i=0,1,…,k, в котором отбрасываются все члены, содержащие производные второго и более высоких порядков.

y(x_i+∆x_i)=y(x_i)+ y’(x_i) ∆x_i+…

y(x_i+h_i)=y(x_i)+ y’(x_i)h_i+…

y’(x_i)=f(x_i,y_i)

y(x_i+h_i)=y(x_i)+h_i f(x_i,y_i) i=0,1,…k-1

Если для простоты h_i= h=cont, то есть узлы x_i равноотстоящие, получаем

y_i+1= y_i+hf(x_i,y_i), i=0,1,…,k-1 (8.7)

y₀= y(х₀)

Таким образом,

y₁= y₀+hf(x₀,y₀)

y₂= y₁+hf(x₁,y₁)

…

Метод Эйлера имеет несколько модификаций

1. Усовершенствованный метод ломаных. Улучшенная ломаная (явный).

Сначала вычисляют промежуточные значения

а затем находят по формуле (8.8)

2. Метод Эйлера с пересчетом. Усовершенствованный метод Эйлера (неявный).

Сначала вычисляют грубое значение

,

которое затем уточняют по формуле

или в виде одной формулы (8.9)

3. Усовершенствованный метод Эйлера с уточнением. Усовершенствованный метод Эйлера с итерациями (неявный).

Сначала вычисляют

а затем это значение уточняют по формуле (8.10)

Итерации продолжают до тех пор, пока в пределах требуемой точности два последовательных приближения не совпадут, то есть

Поиск по сайту: