АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ I-го ПОРЯДКА. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Читайте также:
  1. I I. Тригонометрические уравнения.
  2. II Съезд Советов, его основные решения. Первые шаги новой государственной власти в России (октябрь 1917 - первая половина 1918 гг.)
  3. II. Методы непрямого остеосинтеза.
  4. II. Рыночные методы.
  5. III. Методы искусственной физико-химической детоксикации.
  6. III. Параметрические методы.
  7. IV. Современные методы синтеза неорганических материалов с заданной структурой
  8. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  9. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  10. V2: Применения уравнения Шредингера
  11. V2: Уравнения Максвелла
  12. VI Дифференциальные уравнения

 

, ,

 

Тип уравнения   Методы решения
  1. Уравнение с разделяющимися переменными –
уравнение, в котором каждая из переменных (х или у) содержится только в той части уравнения, где находится ее дифференциал:   .   		  .
  1. Однородное уравнение –
1) уравнение , если его левая часть представляет собой однородную функцию относительно х и у, рассматриваемых как независимые переменные, то есть если или 2) уравнение, которое может быть представлено в виде: . 		Приведем уравнение к виду . Замена: , тогда и . Подставим в исходное уравнение: – уравнение с разделяющимися переменными. . После интегрирования необходимо сделать обратную замену .
  1. Линейное уравнение –
уравнение, приводимое к линейному виду относительно искомой функции и ее производной: – линейное неоднородное.   – линейное однородное. 		1 способ. Метод Бернулли или подстановки.   Замена: , тогда Подставим в исходное уравнение : . Вынесем за скобки любую из функций, например u (x): . Выберем в качестве v(x) какое-нибудь частное решение уравнения в квадратных скобках. Для этого составим систему: Решим отдельно уравнение (1), записав . Это уравнение с разделяющимися переменными: (С = 0) .   Решим уравнение (2), подставив в него ранее найденную функцию v (x) и записав : .   Подставим найденные функции u (x) v (x) в подстановку и получим общее решение: = . 2 способ. Метод Лагранжа или вариации произвольной постоянной.   . Рассмотрим однородное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными, т.е. – общее решение линейного однородного, где С – произвольная постоянная. Общее решение линейного неоднородного уравнения, т.е. искомого ищем в виде: , (*) где С (х) – функция, которую подбираем так, чтобы у (х) было решением ДУ. . Подставим у (х) и в исходное уравнение: . Два слагаемых сократятся! , так как , то можем записать, что . Отсюда , где С – постоянная. Подставим выражение для С (х) в (*), тогда общее решение линейного неоднородного уравнения: у он .  
  1. Уравнение Бернулли
n = 0 – линейное уравнение, n = 1 – с разделяющимися переменными.   		1 способ. Метод Бернулли или подстановки. Замена: , тогда Подставим в исходное уравнение: . Составим систему: Далее, как при решении линейных уравнений.   2 способ. Метод подстановки. Замена: , тогда Для подстановки, разделим исходное уравнение на yn: .
  1. Уравнение в полных дифференциалах
, при условии, что .     		Определение.Дифференциальное выражение является полным дифференциалом, если существует функция u (x, y) такая, что . Из определения полного дифференциала ФДП следует, что , отсюда . Из теоремы о равенстве смешанных производных следует, что . Решение. , отсюда , следовательно, u (x, y) = C, где С – произвольная постоянная. u (x, y) = C – общий интеграл уравнения (**).   Функция u (x, y) может быть найдена из условий: . Проинтегрируем уравнение (1) частным образом: , а так как u (x, y) – функция двух переменных, то после интегрирования получаем не постоянную С, а некоторую произвольную функцию f (y), зависящую от y, так как интегрируем по переменной х: (3). Найдем функцию f (y). Для этого продифференцируем (3) по переменной у частным образом: . С другой стороны из уравнений (2) . Отсюда, правые части этих равенств тоже равны и . После сокращения получаем, что – ФОП у. Найдем f (y) интегрированием: . (4) Подставим (4) в (3): . По (**) получим общий интеграл: = С или .

 


1 | 2 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)