АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Авторегресійні моделі прогнозування

Читайте также:
  1. Альтернативні моделі розвитку. Центральна проблема (ринок і КАС). Азіатські моделі. Європейська модель. Американська модель
  2. Б) ринковій моделі.
  3. Економіко-математичний аналіз моделі продуктивності праці
  4. Екстраполяція трендів як один із методів прогнозування рівнів соціально-економічних явищ
  5. Запуск Simulink та послідовність створення нової моделі
  6. Застосування базових таблиць для прогнозування залишкового ресурсу
  7. Застосування номограм для прогнозування
  8. Змішана” соціально-економічна система: закономірності формування, елементи, моделі
  9. Інструменти, моделі, прилади, таблиці, технічні засоби навчання на уроках математики у початкових класах.
  10. Класична (монетаристська) і кейнсіанська теорії попиту на гроші. Моделі пропозиції грошей
  11. Коваріаційна матриця оцінок параметрів моделі.

Методика прогнозування цінна в тому випадку, якщо вона спирається на обґрунтовану теорію, що встановлює правомочність прогнозування за допомогою даної моделі і помилки вірогідності прогнозу. Оцінка такої помилки за допомогою функції зростання неможлива, тому особливий інтерес представляють авторегресійні моделі.

Авторегресією називається рівняння, що визначає змінну Хj у момент t (або t-й період) через її значення в попередні періоди: (t-1) (t-2)... (t-к). Лінійне авторегресійне рівняння записуємо у вигляді

Хt = а1 Хt-1 + а2 Хt-2 + + ак Хt-к. (4.18)

Першим етапом дослідження тимчасового ряду змінної Х є виділення загальної тенденції у вигляді функції d(t) і визначення залишків εt у формі εt = Хt - d(t) чи εt = d(хt).

Якщо залишки εt незалежні, тобто не можуть бути представлені як функція часу, то функція d(t) охоплює повністю еволюційну складову змінної Хt. При цьому залишається знайти закон їх розподілу εt і, прийнявши гіпотезу про збереження цього закону розподілу на прогнозований період, побудувати довірчий інтервал для прогнозованої величини Хt за функцією d(t). Якщо ж залишки εt залежні, тобто містять деяку тенденцію, то її можна виявити за допомогою коефіцієнта автокореляції. Проводячи зсув значень εt на один рядок і останнє значення переміщаємо на перше місце, одержуємо табл. 4.6.

 

Таблиця 4.6 – Залишки змінних ряду динаміки

εt εt-1
ε1 εn
ε2 ε1
ε3 ε2
………… …………..
εn εn-1

 

Обчислюємо циклічний коефіцієнт кореляції між рядами εt і εt-1 за формулою

r(εt, εt-1) = . (4.19)

Ця формула (4.19) виходить із звичайної формули для визначення коефіцієнта кореляції, якщо покласти

∑ εt = ∑ εt-1 = 0; (4.20)

∑ (εt -1)2 = ∑ (εt)2 . (4.21)

Формула (4.20) виходить з того, що параметри функції d(t) визначаються за методом якнайменших квадратів, а формула (4.21) - з циклічної табл. 4.6.

Аналогічно, зсовуючи εt на 2,3….К рядків, одержуємо циклічну таблицю послідовних відхилень

Таблиця 4.7 - Циклічна таблиця послідовних відхилень



t εt εt-1 εt-2 ……… εt-к+1 εt-к
ε1 εn εn-1   εn-k+2 εn-k+1
ε2 ε1 εn   εn-k+3 εn-k+2
ε3 ε2 ε1   εn-k+4 εn-k+3
…. …. …. …. ….   ….
К εk εk-1 εk-2   ε1 εn
К+1 εk+1 εk εk-1   ε2 ε1
К+2 εk+2 εk+1 εk   ε3 ε2
….. ….. …. …. …. …. ….
n εn εn-1 εn-2   εn-k+1 εn-k

За даними табл. 4.7 визначаємо всі циклічні коефіцієнти автокореляції:

r(εxt εxt-j) = , i, j = 1,2,…..K; (4.22)

r(εxt-1 εxt-j) = . (4.23)

Циклічний коефіцієнт автокореляції не підпорядковується нормальному закону розподілу, його розподіл асиметричний, суттєві величини коефіцієнтів автокореляції при певному рівні значущості різні для позитивних і негативних його значень. 5% - й і 1% - й рівні значущості коефіцієнтів автокореляції подані в спеціальних таблицях. Знайдені значення r1, r2… rn-к-1 перевіряємо по таблиці 5% - х і 1% - х рівнів вірогідності коефіцієнтів автокореляції. Якщо | rстат. (n) | < | r5%. (n) |, то приймаємо гіпотезу неавтокорельованості залишків εt; якщо | rстат. (n) | > | r1%. (n) | відкидаємо гіпотезу їх неавтокорельованості.

За циклічними коефіцієнтами автокореляції складаємо матрицю і її обертаємо. Як і в разі звичайної регресії багаточинника, перевіряємо наявність мультиколінеарності кожного з чинників εxt-j, j=1,2-k від сукупності інших і зберігаємо тільки лінійно незалежні аргументи.

Будуємо лінійну авторегресійну модель

εt = а1 εt-1 + а1 εt-2 + ….+ ак εt-к, (4.24)

‡агрузка...

що виражає εt в період t за допомогою значень εt-j, j = 1,2…К за К попередніх періодів. При цьому в рівнянні повинні бути збережені тільки суттєві і лінійно незалежні коефіцієнти.

Якщо виявляються аj – коефіцієнти, що не задовольняють вказаним вимогам, то модель потребує перерахунку (починаючи з розрахунку автокореляційної матриці більш низького порядку).

Оскільки параметри рівняння тренда визначали за методом найменших квадратів, то в разі його коректного підбору відповідні відхилення підкоряються нормальному розподілу, і, отже, рівняння регресії можна відшукувати в лінійній формі

n Xt = a1n Xt-1 + a2n Xt-2 +…….+akn Xt-k + F(t); (4.25)

Xt = a1 Xt-1 + a2n Xt-2 +……..+ an Xt-k + F(t). (4.26)

Яким повинне бути число членів рівняння, це питання слід вирішувати в поєднанні професійних вимог процесу, що по суті вивчається, з математико-статистичними критеріями. Так, якщо статистичний ряд містить тижневі дані, то особливий інтерес являє чотиричленна модель залежності рівня показника від тижневих рівнів за весь попередній місяць. У разі місячних даних цікава тричленна авторегресія, а для даних, зібраних по роках, – п’ятичленна.

Статистичні критерії покликані встановити відсутність автокорельованості залишків від віднімання з табличних значень εt їх розрахункових значень

ηt = εt – (a1 εt-1 + a2 εt-2 +…+ ak εt-2k). (4.27)

Існує декілька статистичних критеріїв. Один з них заснований на порівнянні середнього квадрата послідовних різниць ηt:

. (4.28)

З дисперсією величини

(4.29)

 

Складаємо відношення середнього квадрата послідовних різниць, до середнього квадрата самих величин:

К = . (4.30)

Якщо Кстат., потрапляє в допустиму область при рівні значущості 5%, а саме К5% (n-k) < Кстат (n-k) < К15% (n-k), то приймаємо гіпотезу неавтокорельованості залишків ηt, а, отже, і достатності числа членів К авторегресійної моделі.

Якщо ж Кстат (n-k) < К% (n-k) або Кстат > К1% (n-k), то відкидаємо гіпотезу неавтокорельованості залишків ηt і рахуємо число членів рівняння недостатності. У цьому випадку число членів рівняння треба збільшити, якщо довжина ряду дозволяє це.

Користуючись для прогнозу розробленими рівняннями, можна знайти довірчий інтервал для значення прогнозованого показника.

Якщо прогнозований показник рівний , то розмір показника Хt записуємо у вигляді

- ≤ Xt ≤ + . (4.31)

Викладена методика складання авторегресійних моделей, використані критерії і побудований довірчий інтервал можна застосовувати тільки для великих вибірок, коли довжина ряду n не менше 30.

Помилка прогнозу по отриманих рівняннях визначається за дисперсії εt. Оскільки

- Хt = εt, (4.32)

то Βер = | εt| ≤ tα σε = Pα, (4.33)

де Pα – задана вірогідність, Pα = 1-α, а tα - відповідна межа по С (n-k) ступеням свободи Стьюдента:

σε = . (4.34)

Розглянемо приклади складання авторегресійних моделей.

Одночленна модель. Щомісячний пробіг рухомого складу міського електротранспорту на 1000 пасажирів, що перевозяться, заданий рядом в графі 2 табл. 4.8. Наявність експоненціального ряду (див. рис. 4.3.) дозволяє розраховувати на придатність одночленної моделі = а1Хt-1.

Система нормальних рівнянь для визначення параметра а1 має вигляд

= а1 . (4.35)

З табл. 4.3. (графи 4 і 5) виходить 367673,4 = 364278,2 а1

Звідки а1 = = 1,0087 ≈ 1,01.

 

Одержуємо рівняння = 1,01 Хt-1. Обчислюємо значення = 1,01 Хt-1 (графа 6) і знаходимо значення εt = Xtt-1 (графа 7) ∑ εt = 9,4, що несуттєво в порівнянні з розмірами Xt.

Обчислюємо коефіцієнт циклічної автокореляції r1. За графами 9 і 10 отримаємо

r1 = r(εt, εt-1) = (4.36)

З табл. 4.3 знаходимо n1 = 15-1=14, r<0, r5% = -0,479.

Оскільки | r1| < | r5%|, кореляція εt, εt-1 несуттєва.

Аналогічно за графами 12 і 10 (табл. 4.8.) одержуємо r2 = = 0,416, що свідчить про несуттєвість кореляції εt и εt-2.

У даному випадку переважний критерій Дж. Неймана. Обчислюємо різницю εt t-1 за графами 13 і (εt t-1)2 – за графами 14. Одержуємо

K= (4.37)

За табл. 4.3 для n1 = 14 рівень значущості К5% рівний 1,2725 при r > 0 і 3,0352 у разі r < 0. Розрахунки свідчать, що коли в генеральній сукупності автокореляція між залишками εt відсутня, то в 95% вибірок буде К > 1,272 у випадку r > 0 и К < 3,0352 при <.

У даному прикладі значення К потрапляє в допустиму область при 5% рівні значущості К > 1,2725. Отже, гіпотеза неавтокорельованості залишків εt стверджується і авторегресійне рівняння Xt = 1,01 Xt-1 приймається.

Помилка прогнозу при середньоквадратичному відхиленні

σε = . (4.38)

Складаємо

Вср = ≤ tα * = Pa. (4.39)

При 95%-й гарантійної вірогідності tα = 2,1 за табл. П.4[12] і помилка прогнозу не перевищить 14,42, що складає приблизно 8%:

- 14,42 ≤ 1,01 Xt-1 + 14,42 (4.40)

Визначаємо прогноз на 16-й і 17-й періоди з похибкою, що не перевершує 14,42 (рис. 4.3.):

= 1,01 * Х15 = 1,01 * 175,3 = 177,05; (4.41)

= 1,01 Х17 = 1,01 * 175,5 = 177,06. (4.42)

 


 

Таблиця 4.8 - Розрахунок параметрів одночленної авторегресійної моделі

t Xt Xt-1 Xt Xt-1 Xt-12 εt= Xt- εt-1 εt* εt-1 εt2 εt-2 еt* еt-2 еt-еt-1 (еt - еt-1)2
153,1 - - - - - - - - - - - -
153,3 153,1 23470,2 23439,6 154,6 -1,3 5,4 -7,02 1,69 1,7 2,21 5,1 26,01
148,4 153,3 22749,7 23500,9 154,8 -6,4 -1,3 8,32 40,96 5,4 -34,56 -5,4 29,16
148,9 148,4 22096,8 22026,6 149,9 -1,0 -6,4 6,4 1,0 -1,3 1,3 -11,0 14,0
160,4 148,9 23883,6 22171,2 150,4 1,0 10,0 1,0 -6,4 -64,6 11,5 132,25
160,5 160,4 25744,2 25728,2 162,0 -1,5 10,0 -15,0 2,25 -1,0 1,5 10,89
157,3 160,5 25246,6 25760,2 162,1 -4,8 -1,5 7,2 23,04 10,0 -48,0 -16,5 272,25
170,6 157,3 26835,4 24743,3 158,9 11,7 -4,8 -16,5 136,89 -1,5 -17,55 3,3 10,89
163,9 170,6 27961,3 29104,4 172,3 -8,4 11,7 -98,27 70,56 -4,8 40,32 -7,4 54,76
164,3 163,9 26928,3 26863,2 165,3 -1,0 -8,4 8,4 1,0 11,7 -11,7 -16,1 259,21
170,9 164,3 28078,9 26994,5 155,8 15,1 1,0 15,1 228,01 -8,4 -126,84 19,8 292,04
167,9 170,9 28694,1 29206,8 172,6 -4,7 15,1 -70,97 22,09 -1,0 4,7 -3,2 10,24
168,1 167,9 28223,9 28190,4 169,6 -1,5 -4,7 7,05 2,25 15,1 -22,65 0,2 0,04
168,2 168,1 28274,4 28257,6 169,9 -1,7 -1,5 2,55 2,89 -4,7 7,99 -7,1 50,41
175,3 168,2 29485,5 28291,2 169,9 5,4 -1,7 9,18 29,16 -1,5 -8,4 - -
175,5   367673,4 364278,2   9,4   -184,64 661,179   -275,68   1369,15

Рис. 4.3 - Одночленна авторегресійна модель:

1-вихідні дані; 2-одночленна авторегресія; 3-вирівнююча гіпербола.

Багаточленна модель. Щомісячна реалізація цегли (в тисячах штук) базою торгово – будівельних матеріалів за 20 місяців представлена в табл. 4.9 (графа 2). Треба скласти модель для прогнозування місячної потреби в цеглі на найближчі місяці.


Таблиця 4.9 - Розрахунок параметрів багаточленної моделі
t Xt Xt-1 εt=Xt-Xt-1 εt-1 εt*εt-1 εt2 εtt-1 tt-1)2 Xt-2
- - - - - - - - -
16,55 0,55 2,84 -1,5 0,3 - - -
18,75 4,25 0,55 2,34 18,06 -3,7 13,68
25,37 1,63 4,25 6,93 2,66 2,62 6,86
29,78 2,22 1,63 3,62 4,92 -0,59 0,35
35,29 -6,29 2,22 -20,6 86,3 11,51 132,48
28,68 -7,68 -9,29 71,35 58,98 1,61 2,59
23,16 -5,16 -7,68 39,63 26,63 -2,62 6,35
19,55 -4,55 -5,16 23,48 20,70 -0,61 0,37
16,55 2,45 -4,55 -11,15 6,00 7,0
20,96 3,04 2,45 7,45 9,24 -0,59 0,35
26,47 6,53 3,04 19,85 42,64 -3,49 12,18
36,40 0,6 6,53 3,92 0,36 6,47 41,86
40,81 0,19 0,6 0,11 0,36 0,41 1,68
45,22 -1,78 0,19 -0,34 3,17 1,97 3,88
47,43 -2,43 -1,78 4,33 5,9 0,75 0,56
49,64 -2,64 -2,43 6,42 6,97 0,21 0,04
51,24 -2,84 -2,64 7,5 8,07 0,2 0,04
        162,28 301,26   272,2

Продовження табл. 4.9

Xt*Xt-1 Xt*Xt-2 Xt-1* Xt-2 Xt-12 X 2t-2 0,1175 Xt-1 1,061 Xt-2 εt=Xt- εt2 εt- εt-1 t- εt-1)2
- - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - -
1,99 15,91 17,9 5,1 26,01 - -
2,70 18,04 20,74 6,26 39,8 -1,13 1,27
3,17 24,40 27,57 4,43 19,62 1,83 3,35
3,76 28,64 32,30 -6,3 39,69 10,73 115,13
3,05 33,95 37,00 -16,0 25,6 9,7 94,09
2,46 27,58 30,04 -12,04 144,96 -3,96 15,68
2,11 22,28 24,38 -9,38 86,49 -2,66 7,07
1,76 19,09 20,85 -1,85 3,42 -7,52 56,55
2,23 15,92 18,15 5,95 35,4 -7,80 60,84
2,82 25,46 22,98 10,02 100,4 -4,07 16,54
3,87 26,52 29,33 7,67 58,82 2,35 5,52
4,34 33,20 37,54 3,46 11,97 4,21 17,72
4,82 39,25 44,07 -1,07 1,14 4,53 20,52
5,05 43,50 48,55 -3,55 12,6 -2,48 6,15
5,29 45,62 50,91 -3,91 15,29 0,36 0,12
5,52 47,74 52,26 -4,26 18,14 0,35 0,12
      15,47 428,33    

Використовуючи перші 18 членів ряду, складемо одночленну модель = а1 Хt-1. Визначаємо а1 за методом середніх (табл. 4.9, графи 2.3):

а = (4.43)

Обчислюємо значення = 1,103 Хt-1 і залишків εt = - Хt (графи 4, 5). Для використання першого критерію автокорельованості складаємо циклічний ряд εt-1 (графа 6), обчислюємо εt * εt-1 (графа 7) і εt2 (графа 8). У результаті одержуємо

r1 = r(εt, εt-1) = (4.44)

За табл. 4.3 знаходимо n1 = 18 – 1 =17 і r > 0, маємо r1% = 0,475.

Отже, r1 потрапляє в критичну область при 1% рівні значущості, що дає підставу відкинути гіпотезу неавтокорельованості εt.

Таким чином, модель = а1 Хt-1 не приймається. До такого ж висновку приводить і другий критерій Дж. Неймана. На підставі граф 8,10 отримаємо

К = (4.45)

 

За табл. 4.3 знаходимо: n1 = 17 маємо К1% = 1,035. Значить, К потрапляє в критичну область при 1% рівні значущості, що дає підставу забракувати гіпотезу відсутності автокорельованості εt.

Складаємо двочленну модель = а1 Хt-1. + а2Хt-2. Система нормальних рівнянь для визначення параметрів методом якнайменших квадратів має видгляд

 

. (4.46)

Визначивши суми для вирішення системи (табл. 4.9, графи 12-16), отримаємо 16289=1728 а1 + 14241 а2 ; 14853 = 14241 а1 + 13187 а2, звідки а1 = 0,1175; а2 = 1,061. У графах 17-19 наведені значення Хt, розраховані по формулі = 0,1175 Хt-1 + 1,061 Хt-2 . Відхилення εt знаходимо за графами 20 і критеріюєм Дж. Неймана перевіряємо неавтокорельованість залишків. З граф 21,23

K= . (4.47)

За табл. 4.4 маємо:

К5% (16) = 1,309 при r > 0;

К5% (16) = 2,9577 при r < 0.

Отже, розрахункове значення К потрапляє в допустиму область при 5% рівні значущості, що дає підставу для ухвалення гіпотези неавтокорельованості залишків εt для затвердження двочленній моделі: = 0,1175 Хt-1 + 1,061 Хt-2. При середньоквадратичному відхиленні

σε = = = 5,17 (4.48)

помилка прогнозу Вср = ≤ tα * = Pα; при 90%-й гарантійної вірогідності tα = 1,74 за табл. П.4 [12] і помилка прогнозу не перевищить 8,84.

Прогноз на 19 і 20 періоди Х19 = 55,61; Х20 = 58,20 з 90%-й вірогідністю непереходу за межі

- 8,84 ≤ 0,1175 Хt-1 + 1,061 Хt-2 + 8,84. (4.49)


Запитання для контролю знань

1. Необхідність, можливість і значення застосування економіко-математичних методів у плануванні й управлінні.

2. Основні методичні принципи економіко-математичного моделювання виробничих процесів.

3. Мета і завдання курсу "економетрія" і його взаємозв'язок з профілюючими дисциплінами.

4. Достовірні, неможливі, випадкові й невизначені економічні процеси і явища.

5. Генеральна вибіркова сукупність. Побудова статистичних і тимчасових рядів розподілу.

6.Узагальнюючі статистичні характеристики ряду розподілу випадкової величини.

7. Форми законів розподілу випадкової величини.

8. Закон нормального розподілу і його значення в математичній статистиці.

9. Визначення вірогідності попадання випадкової величини в заданий інтервал.

10. Стандартизація нормального закону розподілу.

11. Грубі, систематичні й випадкові помилки.

12. Розподіл випадкових помилок.

13. Довірчі межі розподілу випадкових помилок.

14. Послідовність попередні обробки спостережень і техніко-економічної інформації.

15. Етапи математико-статистичного моделювання техніко-економічних показників.

16. Обгрунтування обсягу вибірки або достатності вихідної інформації.

17. Виявлення спостережень, різко відмінних від основної маси вибіркових даних.

18. Перевірка статистичної однорідності вибіркової сукупності.

19. Дослідження закону розподілу функціональної ознаки.

20. Види залежності між економічними явищами і процесами.

21. Визначення поняття кореляції.

22. Визначення поняття регресії.

23. Етапи процесу кореляційного і регресійного аналізу.

24. Емпірична і теоретична лінії регресії.

25. Форми математичного рівняння зв'язку.

26. Перетворення математичних функцій до лінійного виду.

27. Знаходження невідомих параметрів рівняння.

28. Коефіцієнт кореляції.

29. Лінійність (нелінійність) зв'язку між змінними.

30. Оцінка відхилень досліджуваних даних щодо теоретичної лінії регресії.

31. Залишкова теоретична дисперсія.

32. Критерій адекватності Фішера.

33. Необхідність розробки множинних рівнянь регресії.

34. Об'єднання парних рівнянь у випадках перетворення і неперетворення функціональної ознаки.

35. Складання системи рівнянь для визначення множинної регресії у стандартизованому і натуральному масштабі.

36. Проблема мультиколінеарності і методика її виявлення.

37. Поетапне приєднання аргументів при розробці множинної регресії.

38. Перехід від рівняння у стандартизованому масштабі в рівняння в натуральному масштабі.

39. Прогнозуюча модель, її характер і план складання.

40. Графічне зображення даних на координатній сітці. Вирівнювання по ковзаючій середній.

41. Виявлення загальної тенденції тимчасового ряду.

42. Обробка рядів динаміки за наявності сезонних коливань.

43. Авторегресія. Коефіцієнт авторегресії, його сутність.

44. Визначення точності й надійності авторегресії.


Загальна та додаткова література.

1. Барковський В. Теорія ймовірностей та математична статистика. К.:

ЦУЛ, 2002 – 448 с.

2. Базы данных: модели, разработка, реализация. / Под. ред. Карповой Т., -

СПБ. : Питер, 2001 – 304 с.

3. Бережная Е. Математические методы моделирования экономических систем: Уч. пособие. М. ФиС. 2002 – 368 с.

4. Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. С англ. М. : Инфра – М, 2001 – 208 с.

5. Кобелев Н. Практическое применение Экономико-математических методов и моделей. - М.: Финстатинформ, 2000 – 246 с.

6. Конюховский П. Математические методы исследований в экономике. СПб.: Питер, 2000 – 208 с.

7. Корольов О. Практикум з економетрії. - К.: УФІМБ, 2002208 с.

8. Звітність підприємств: Навч.-метод. посібник (За ред. Добровольского В.).К.: КНЕУ, 2001 – 195 с.

9. Лук’яненко І.Г., Краснікова Л.І. Економетрія: Підручник. – К.: Знання, 1988. - 494 с.

10. Монахов А. Математические методы анализа экономики - СПб.:Питер, 2001. – 176 с.

11. Наконечний С.І., Терещенко Т.О., Романюк Т.П. Економетрія, - К.: КНЕУ, 2002 – 296 с.

12. Сивый В.Б., Скоков Б.Г. Математические методы и модели в планировании и управлении жилищно-коммунальным хозяйством. – Харків, Основа, 1991 -203 с.

13. Ржевский С.В. Вступ до економетрії: Навч. посібник. - К.: ЕУФІМБ, 1999 – 120 с.

14. Економетрія. Навч.-метод. посібник. (Під ред. Наконечного С.) - К.:КНЕУ, 2001. – 192 с.

15. Фомин Г. Математические методы и модели в комерческой деятельности.- М.: ФиС, 2001 – 544 с.

16. Методичні вказівки для самостійного вивчення курсу "Економетрія" / Укл. Скоков Б.Г. - Х.арків: ХГАГХ, 2002.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |


При использовании материала, поставите ссылку на Студалл.Орг (0.065 сек.)