АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Дифференциал функции

Читайте также:
  1. II. Основные задачи и функции Отдела по делам молодежи
  2. III. ФУНКЦИИ ДЕЙСТВУЮЩИХ ЛИЦ
  3. III. Функции семьи
  4. IV. Порядок и формы контроля за исполнением государственной функции
  5. Wait функции
  6. Абсолютные и относительные ссылки. Стандартные формулы и функции. Логические функции
  7. Акцентная структура слова в русском языке. Система акцентных противопоставлений. Функции словесного ударения.
  8. Акцентная структура слова в русском языке. Функции словесного ударения.
  9. Алгоритм нахождения глобального экстремума функции
  10. Аппарат государства – это система государственных органов, обладающих государственной властью и осуществляющих функции государства.
  11. Аргументы функции main(): argv и argc
  12. Бактерицидные функции

Рассмотрим две функции: y 1 = f 1(x) и y 2 = f 2(x), которые имеют производные f 1 ¢ (x) и f 2 ¢ (x) в каждой точке некоторой области D. Возьмем какую-либо точку x из области D и дадим аргументу приращение D x. Тогда функции получат соответственно приращения D y 1 = f 1(x + D x) - f 1(x) и D y 2 = f 2(x + D x) - f 2(x). Из графиков, изображенных на рисунке 3, видно, что в обоих случаях приращения D y 1 и D y 2 можно представить в виде сумм двух слагаемых:

D y 1 = (C 1 - A 1) + (B 1 - C 1); D y 2 = (C 2 - A 2) + (B 2 - C 2) (1)


 

Первые слагаемые в правых частях обоих выражений (1) легко вычисляются из сходных формул: C 1A 1 = tg a 1 D x = f 1 ¢ (x)D x; C 2A 2 = tg a 2 D x = f 2 ¢ (x)D x.

Величина (x) D x называется главной частью приращения функции y = f (x) в точке x. (Здесь мы говорим только о функции, имеющей в точке x производную). Главная часть приращения функции линейна относительно приращения аргумента D x (можно сказать – пропор­циональна приращению D x). Это означает, что если приращение аргумента D x уменьшить в k раз, то и главная часть приращения функции уменьшится в k раз.

Формулы (1) можно переписать в виде:

D y 1 = f 1 ¢ D x + r 1; Dy 2 = f 2 ¢ D x + r 2. (2)

Здесь r 1 = B 1C 1; r 2= B 2C 2.

Величины r 1 и r 2 в формулах (2) при уменьшении D x в k раз уменьшаются более чем в k раз, что можно видеть, сравнивая рисунки 3 и 4, и говорят, что r 1 и r 2 стремятся к нулю быстрее, чем D x.


Назовем функцию b(z) бесконечно малой в точке z = z 0, если .

Пусть функции b(z)и g (z)являются бесконечно малыми в точке z = z 0.. Функция b(z)называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция g(z), если .

Величины r 1 и r 2 в формулах (2) являются функциями аргумента D x, бесконечно малыми в точке D x = 0. Можно показать, что . Это означает, что функции r 1(Dx) и r 2(D x) являются бесконечно малыми функциями более высокого порядка, чем D x, в точке D x = 0.

Таким образом приращение функции y = f (x) в точке, в которой существует её производная, может быть представлено в виде

D y = f¢ (x) D x + b(D x),

где b(D x) ‑ бесконечно малая функция более высокого порядка, чем D x, в точке D x = 0.

Главная, линейная относительно D x,часть приращения функции y = f (x), равная (x) D x, называется дифференциалом и обозначается dy:

dy = f¢ (x) D x. (3)

Если сюда подставить функцию f (x) = x, то, так как x¢ = 1, формула (3) примет вид: dx = D x. Эта формула легко истолковывается с помощью графика функции y = x, из которого видно, что приращение этой функции содержит лишь главную часть. Таким образом, для функции y = x приращение совпадает с дифференциалом. Теперь формулу дифференциала (3) можно переписать так

dy = f¢ (x) dx.

Отсюда следует, что

,

то есть производная функции f (x) равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента x.

Очевидны следующие свойства дифференциала.

1. dC = 0 (здесь и в следующей формуле C - постоянная);

2. d (Cf (x)) = Cdf (x);

3. Если существуют df (x) и dg (x), то d (f (x) + g (x)) = df (x) + dg (x), d (f (x) g (x)) = g (x) df (x) + f (x) dg (x). Если при этом g (x) ¹0, то

Пусть y = f (x) функция, имеющая производную в точке x, тогда dy = df (x) = (x) dx. Если аргумент x является функцией x (t) некоторой независимой переменной t, то y = F (t) = f (x (t)) -сложная функция от t, и её дифференциал вычисляется по формуле dy = F¢ (t) dt = (x) (t) dt. Однако по определению дифференциала (t) dt = dx и последняя формула преобразуется к виду: dy = f¢ (x) dx.

Таким образом если аргумент функции y=f (x)рассматривать как функцию другого аргумента так, что равенство D x = dx не выполняется, формула дифференциала функции f (x) остается неизменной. Это свойство принято называть свойством инвариантности дифференциала.


1 | 2 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)