|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Неопределенных интегралов
Формула интегрирования по частям имеет вид
В этой формуле за и обозначены дифференциалы некоторых функций. На всякий случай еще раз напомним определение дифференциала функции , а так же формулу восстановления функции по ее дифференциалу .
Задача. Найти . При использовании формулы интегрирования по частям важно правильно на первом этапе разбить подынтегральное выражение на два множителя и . Неудачное разбиение может привести не к упрощению, а, наоборот, к усложнению примера. В указанном примере обозначим . Всю оставшуюся часть подынтегрального выражения мы обозначим , то есть . Тогда имеем: ; . Применяя формулу интегрирования по частям, получаем
. Для вычисления последнего интеграла подынтегральное выражение преобразуем к виду
Тогда получаем
. Ответ: .
Формула интегрирования «по частям» применяется для вычисления интегралов вида: ; ; . Где - многочлен степени . При вычислении таких интегралов принимается . Отметим, что тогда: 1) , то есть ; 2) , то есть ; 3) , то есть .
Задача. Найти . Полагаем , следовательно . Тогда . Применяя формулу интегрирования по частям, получаем
+С. Мы не будем проводить дальнейшее алгебраическое упрощение данного выражения.
Задача. Найти . Пусть . Тогда . Применяя формулу интегрирования по частям, получаем . Мы получили интеграл подобного типа, только степень многочлена стала меньше. Применим еще раз метод интегрирования по частям.
Пусть . Тогда . Получаем = = =
Ответ: Если вы хорошо овладели навыками интегрирования, то можно явно не выписывать чему равно и , и , проделывая промежуточные выкладки в уме. Покажем это на примере. Задача. Найти . = .
Ответ: = .
Следующий тип интегралов, для которых применяется формула интегрирования по частям – это интегралы вида , где - многочлен степени , целое положительное число. В этом случае принимается . Задача. Найти . Пусть , значит . Тогда , . Получаем = = Теперь обозначим , значит . Тогда , . Получаем = = = = = .
Ответ: = .
Существует еще один класс интегралов, при вычислении которых полезно применить формулу интегрирования по частям. Применяемый прием называется «интегрирование с возвратом». Суть его состоит в том, что в результате применения формулы интегрирования по частям мы получаем уравнение для нахождения искомого интеграла. Приведем пример вычисления интегралов вида и . Задача. Найти . Пусть . Значит . Тогда . Получаем . Далее обозначим . Значит . Тогда, как и ранее . Применяя еще раз формулу интегрирования по частям, получаем
=
Раскрываем скобки . Фактически мы получили уравнение для определения искомого интеграла . Переносим интеграл из правой части соотношения в левую
.
Получаем = .
Задача. Найти . Пусть . Значит . Тогда . Получаем . Далее обозначим . Значит . Тогда, как и ранее . Применяя еще раз формулу интегрирования по частям, получаем =
Раскрываем скобки . Переносим интеграл из правой части соотношения в левую . Тогда
= .
Аналогичным образом могут быть вычислены интегралы вида: и .
Задача. Найти . Обозначим , . Тогда , . Применяя формулу интегрирования по частям, получаем
= . Преобразуем данное равенство к виду = Последний из интегралов в правой части является табличным. Вычисляя его, имеем = Из полученного выражения следует = Тогда = .
Задача. Найти . Обозначим , . Тогда , . Применяя формулу интегрирования по частям, получаем
= . Преобразуем данное равенство к виду = = Последний из интегралов в правой части является табличным. Вычисляя его, получаем = Из полученного выражения следует = Тогда = .
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.014 сек.) |