Сложные ставки ссудных процентов

Если после очередного интервала начисления доход (т. е. на­численные за данный интервал проценты) не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяют фор­мулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты в настоя­щее время являются весьма распространенным видом применяе­мых в различных финансовых операциях процентных ставок.

Пусть

i_c — относительная величина годовой ставки сложных ссудных процентов;

k _н.с — коэффициент наращения в случае сложных процен­тов;

j — номинальная ставка сложных ссудных процентов (ее определение будет дано в дальнейшем).

Если за интервал начисления принимается год, то по про­шествии первого года наращенная сумма, в соответствии с фор­мулой (1.7), составит

S₁ = P(1 + i_c)

Еще через год это выражение применяется уже к сумме S₁:

S₂ = S₁(1 + i_c) = P(1 + i_c)²

и так далее. Очевидно, что по прошествии п лет наращенная сум­ма составит

S = P(1 + i_c)ⁿ (3.1)

Множитель наращения k _н.с соответственно будет равен

k _н.с = (1 + i_c)ⁿ (3.2)

При начислении простых процентов он составил бы по форму­лам (1.5) и (1.7):

k_н=(1+ni)

Сравнивая два последних выражения для коэффициентов на­ращения, можно видеть, что чем больше период начисления, тем больше разница в величине наращенной суммы при начислении простых и сложных процентов.

Если срок ссуды п в годах не является целым числом, множи­тель наращения определяют по выражению:

k _н.с = (1 + i_c)^na(1+n_bi_c) (3.3)

где п = п_а + п_b;

п_а — целое число лет;

п_ь — оставшаяся дробная часть года.

На практике в данном случае часто предпочитают пользоваться формулой (3.1) с соответствующим нецелым показателем степе­ни. Но нужно иметь в виду, что с точки зрения сущности начис­ления процентов этот способ является приблизительным, и по­грешность при вычислениях будет тем больше, чем больше значения входящих в формулу величин. Наибольшее расхождение мы получим при п_b = 1/2, как раз в том случае, когда очень удобно применить формулу (3.1), ведь на всех калькуляторах есть опера­ция извлечения квадратного корня (т. е. возведения в степень 1/2). Следует учитывать, что приблизительный метод дает мень­ший, чем в действительности, результат.

Таким образом, в современной ситуации, когда номиналы де­нежных сумм достаточно велики, от этого метода лучше отказать­ся вовсе.

Предположим теперь, что уровень ставки сложных процентов будет разным на различных интервалах начисления.

Пусть n₁, n₂,…, n_N - продолжительность интервалов начис­ления в годах; i₁ ,i₂,…, i_N — годовые ставки процентов, соответст­вующие данным интервалам. Тогда наращенная сумма в конце первого интервала начисления в соответствии с формулой (1.7), составит

S₁ = P(1 + n₁i₁)

В конце второго интервала:

S₂ = Р (1 + n₁i₁)(1 + n₁i₁)

и т. д.

При N интервалах начисления, если все интервалы начисления одинаковы (как и бывает обычно на практике) и ставка сложных процентов одна и та же, то:

S_N =P(1+ni)^N. (3.5)

Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номи­нальная ставка процентов j — годовая ставка, по которой опреде­ляется величина ставки процентов, применяемая на каждом ин­тервале начисления.

При т равных интервалах начисления и номинальной про­центной ставке j эта величина считается равной j/m.

Если срок ссуды составляет n лет, то, аналогично формуле (3.1), получаем выражение для определения наращенной суммы:

S_mn = Р (1 +j/m)^mn, (3.6)

где тп — общее число интервалов начисления за весь срок ссуды.

Если общее число интервалов начисления не является целым числом (тп — целое число интервалов начисления, l — часть ин­тервала начисления), то выражение (3.6) принимает вид:

S= P(1+ j/m)^mn(1 + lj/m). (3.7)

Для целого числа периодов начисления используется формула сложных процентов (3.1), а для оставшейся части — формула про­стых процентов (1.7).

Поиск по сайту: