АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Интегрирование ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Читайте также:
  1. I Классификация кривых второго порядка
  2. II ОБЩИЕ НАЧАЛА ПУБЛИЧНО-ПРАВОВОГО ПОРЯДКА
  3. II. САКРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ: МЕТАФОРА УНИВЕРСАЛЬНОГО ПОРЯДКА
  4. IV.1. Общие начала частной правозащиты и судебного порядка
  5. V2: ДЕ 53 - Способы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
  6. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  7. V2: ДЕ 6 - Линейные отображения. Определители второго порядка
  8. А. Блага высшего порядка в своем характере благ обусловлены наличием в нашем распоряжении соответственных комплементарных благ.
  9. Адаптивная полиномиальная модель первого порядка
  10. Алгоритм решения линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами
  11. Анализ порядка определения и формирования цены ДР.
  12. Анализ случаев нарушения безопасности движения с установлением виновных и конкретных нарушений правил и порядка работы

 

Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Пусть дано ЛОДУ второго порядка

,

Где p и q постоянны.

Для нахождения общего решения уравнения достаточно найти два его частных решений, образующих фундаментальную систему.

Будем искать частные решения уравнения в виде

,

где k – некоторое число. Дифференцируя эту функцию 2 раза и подставляя выражения для у, у’ и у’’ в уравнение , получим: , т.е.

, или =0 ( ).

Уравнение =0 ( ) называется характеристическим уравнением ДУ .

При его решении возможны следующие три случая

 

Случай 1: Корни уравнения и уравнения =0 ( ). Действительные и различные: (D = - q > 0).

В этом случае частными решениями уравнения являются функции =

и = . Они образуют фундаментальную систему решений (линейно независимы), т.к. их вронскиан

 

W(x) = =

Следовательно, общее решение уравнения ,

 

 

Случай 2: Корни и характеристического уравнения =0 ( ), действительные равные: .

В этом случае имеем лишь одно частное решение .

Покажем, что наряду с решением уравнения будет и .

Действительно, подставим функцию в уравнение . Имеем: +

Но , т.к. есть корень уравнения =0 ( ) ; , т.к. по условию .

Поэтому , т.е. функция является решением уравнения .

Частные решения и образуют фундаментальную систему решений: . Следовательно, в этом случае общее решение ЛОДУ имеет вид

 

Случай 3: Корни и уравнения =0 ( ) комплексные: ,

В этом случае частными решениями уравнения являются функции и .

 

 

По формулам Эйлера:

,

Имеем

,

.

Найдем два действительных частных решения уравнения . Для этого составим две линейные комбинации решений для и :

и .

Функции и являются решениями уравнения , что следует из свойств решений ЛОДУ второго порядка. Эти решения и образуют фундаментальную систему решений, т.к. . Поэтому общее решение данного уравнения запишется в виде или

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |


При использовании материала, поставите ссылку на Студалл.Орг (0.006 сек.)