Соответствие между тригонометрическими и геометрическими определениями тригонометрических функций

В курсе планиметрии были введены несколько иные определения тригонометрических функций. Напомним их. Рассмотрим прямоугольный треугольник с острым углом , катетами , и гипотенузой .

Синусом угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе . Косинусом угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе . Тангенсом угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему . Котангенсом угла называется отношение прилежащего катета к противолежащему .

Таким образом, существуют два набора определений тригонометрических функций: геометрические (с помощью прямоугольного треугольника) и непосредственно тригонометрические (с помощью тригонометрической окружности). Какое из этих определений более корректно?

Следует отметить, что геометрические определения имеют очевидный недостаток: они имеют смысл только для острых углов, т.к. прямоугольный треугольник не может содержать других углов, кроме острых и прямого. Теперь докажем, что геометрические определения являются следствиями тригонометрических.

Рассмотрим точку на тригонометрической окружности и треугольник с катетами , , гипотенузой и углом . Тогда по определению , т.е. противолежащий катет делить на гипотенузу. Аналогично , , .

Таким образом, тригонометрическое определение является более общим, т.к. оно имеет смысл для любых углов (а не только для острых) и содержит в себе геометрическое определение как частный случай.

Поиск по сайту: