B) уравнение Риккати

Уравнение вида

называется уравнением Риккати.

Уравнение Риккати интегрируются в квадратурах лишь в некоторых частных случаях - например, если - постоянны, то переменные разделяются; при с=0 получается уравнение Бернулли. Если удается угадать некоторое частное решение уравнение Риккати, то заменой

оно сводится к уравнению Бернулли. Частное решение удобно подбирать по виду функции с(x).

Пример 6. Решить уравнение .

Решение.

Преобразуем уравнение к виду

.

Найдем частное решение методом неопределенных коэффициентов, исходя из вида правой части предположим, что функция

удовлетворяет уравнению Риккати. Тогда должно выполняться равенство

,

которое возможно при . Следовательно, функция

является частным решением уравнения Риккати. Чтобы найти общее решение сделаем замену

.

Подставляя в исходное уравнение, получаем уравнение Бернулли с показателем n=2:

.

Далее, полагая

,

приводим уравнение Бернулли к линейному неоднородному уравнению

,

решением которого является функция

.

Перейдя к старым переменным, находим

.

При делении на z было потеряно решение

.

Итак, решением исходного уравнения являются функции

.

Уравнения в полных дифференциалах

Определение уравнения в полных дифференциалах Дифференциальное уравнение вида называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция двух переменных u (x,y) с непрерывными частными производными, что справедливо выражение Общее решение уравнения в полных дифференциалах определяется формулой где C − произвольная постоянная. Необходимое и достаточное условие Пусть функции P (x,y) и Q (x,y) имеют непрерывные частные производные в некоторой области D. Дифференциальное уравнение P (x,y) dx + Q (x,y) dy = 0 будет являться уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, если справедливо равенство: Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах Сначала убедимся, что дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, используя необходимое и достаточное условие: Затем запишем систему двух дифференциальных уравнений, которые определяют функцию u (x,y): Интегрируем первое уравнение по переменной x. Вместо постоянной C запишем неизвестную функцию, зависящую от y: Дифференцируя по переменной y, подставим функцию u (x,y) во второе уравнение: Отсюда получаем выражение для производной неизвестной функции φ (y): Интегрируя последнее выражение, находим функцию φ (y) и, следовательно, функцию u (x,y): Общее решение уравнения в полных дифференциалах записывается в виде: Примечание: На шаге 3, вместо интегрирования первого уравнения по переменной x, мы можем проинтегрировать второе уравнение по переменной y. После интегрирования нужно определить неизвестную функцию ψ (x).

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение 2 xydx + (x 2 + 3 y 2) dy = 0. Решение. Данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, поскольку соответствующие частные производные равны: Запишем следующую систему дифференциальных уравнений для определения функции u (x,y): Интегрируя первое уравнение по x, получаем: Подставляем выражение для u (x,y) во второе уравнение: Интегрируя последнее уравнение, находим неизвестную функцию φ (y): так что общее решение данного уравнения в полных дифференциалах имеет вид: где C − произвольная постоянная.

Пример 2

Найти решение дифференциального уравнения (6 x 2 − y + 3) dx + (3 y 2 − x − 3) dy = 0. Решение. Проверим, является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах: Как видно, мы имеем уравнение в полных дифференциалах. Запишем систему уравнений для определения функции u (x,y): проинтегрируем первое уравнение по переменной x, полагая, что y является константой. В результате получаем: Здесь мы ввели непрерывную дифференцируемую функцию φ (y) вместо постоянной C. Подставим функцию u (x,y) во второе уравнение: Получаем уравнение для производной φ' (y): Интегрируя, находим функцию φ (y): Таким образом, функция u (x,y) определяется формулой Следовательно, общее решение уравнения описывается следующим неявным выражением: где C − произвольное действительное число.

Пример 3

Решить дифференциальное уравнение e ydx + (2 y + xe y) dy = 0. Решение. Сначала проверим, что данное уравнение будет являться уравнением в полных дифференциалах: Видно, что . Найдем далее функцию u (x,y) из системы уравнений: Следовательно, Теперь продифференцируем это выражение по переменной y и приравняем к . В результате получим выражение для производной φ' (y): Таким образом мы находим φ (y) и всю функцию u (x,y): Следовательно, общее решение дифференциального уравнения записывается в виде:

Пример 4

Решить уравнение (2 xy − sin x) dx + (x 2 - cos y) dy = 0. Решение. Данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, поскольку Найдем функцию u (x,y) из системы двух уравнений: Интегрируя первое уравнение по переменной x, получаем: Подставляя во второе уравнение, имеем: Следовательно, Тогда функция u (x,y) определятся выражением а общее решение дифференциального уравнения описывается неявной формулой

Пример 5

Решить уравнение Решение. Сначала выясним, имеем ли мы дело с уравнением в полных дифференциалах: Как видно, . Следовательно, это уравнение в полных дифференциалах. Найдем функцию u (x,y), удовлетворяющую системе уравнений: Интегрируем первое уравнение: где φ (y) − некоторая неизвестная функция, зависящая от y. Мы определим ее позже. Подставим результат во второе уравнение системы: Интегрируя последнее выражение, находим функцию φ (y): где C − константа. Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения описывается уравнением:

Пример 6

Решить дифференциальное уравнение с начальным условием y (1) = 1. Решение. Проверим, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах, предварительно преобразовав его в стандартную форму: Частные производные будут равны Следовательно, мы имеем дело с уравнением в полных дифференциалах. Поэтому, далее запишем следующую систему уравнений для определения функции u (x,y): В данном случае удобнее проинтегрировать второе уравнение по переменной y: Теперь продифференцируем это выражение по переменной x: Итак, общее решение дифференциального уравнения в неявном виде определятся выражением: Найдем теперь частное решение, удовлетворяющее начальному условию y (1) = 1. Подставляя начальные значения, определяем постоянную C: Следовательно, частное решение данной задачи Коши имеет вид:

Поиск по сайту: