|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Измерение удельного сопротивления проволокиЭлектрическое сопротивление участка проводника (19) где R — сопротивление отрезка проволоки, / — его длина, S — площадь поперечного сечения, ρ — удельное сопротивление материала проволоки. Отсюда . (20) Чтобы определить ρ, необходимо измерить электрическое сопротивление R отрезка проволоки, длину отрезка l и определить площадь его сечения S. Для измерения сопротивления собирают простейшую электрическую цепь (рисунок 5).
Участок цепи АВ — отрезок проволоки, e — источник тока, А — амперметр, V— вольтметр. Рисунок 5 Простейшая электрическая цепь для определения удельного сопротивления Допустим, что мы провели такой опыт: собрали цепь, как на рисунке 5, измерили напряжение U и силу тока I. Затем измерили длину отрезка проволоки l и ее диаметр d. При этом, например, оказалось: U = 1 В, I = 10 А, l = 4×10-1 м, d = 5×10-4 м. Подставим эти данные в (20): (21) Числовое значение можно вычислить по формуле (21) непосредственно расчетом, а можно на микрокалькуляторе. Во втором случае расчет проводить безусловно проще, и большинство студентов так и поступает. Поступим так же и мы. В результате получим ρ = 4,9087384×10-6 Ом ×м. Уже с первого взгляда на это число возникает уверенность: что здесь что-то не так. Слишком много цифр! Ясно, что не все цифры имеют отношение к делу. Они возникли как результат вычисления. Действительно, при вычислении по формуле (21) на калькуляторе мы вызвали число π = 3,1415926 и далее проделали все необходимые арифметические действия. Если воспользоваться ЭВМ, то число π можно взять еще точнее, тогда очевидно, что определяемое значение ρ будет содержать еще больше знаков после запятой. Сколько же цифр в числовом значении ρ имеют смысл? Разберемся в этом вопросе. Напряжение U, силу тока I, длину l отрезка проволоки и ее диаметр d мы измеряем соответствующими приборами с определенной точностью. Когда мы говорим, что вольтметр показывает 1 В. мы, конечно, имеем в виду, что измеряемое напряжение лишь приблизительно равно 1 В. Истинное значение напряжения лежит в некотором интервале U изм - Δ U ≤ U ≤ U изм+ Δ U, где U изм — измеренное напряжение; в нашем примере U изм = 1 В. Значит, результат измерения есть то деление на шкале вольтметра, против или вблизи которого установилась стрелка, Δ U — погрешность измерения напряжения данным вольтметром, она определяется классом точности прибора. Отметим, что Δ U определяется «ценой» деления шкалы вольтметра. Пусть вся шкала прибора рассчитана на 2 В и имеет 20 делений. Значит, цена деления — - 0,1 В, а погрешность измерения -половина «цены» деления, т. е. Δ U = 0,05 В. Таким образом, истинное значение U лежит между 0,95В и 1,05 В: 0,95В< U < 1,05В или (в более удобном виде) U=Ū± Δ U;U=(1 ±0,05)В. Здесь Ū = 1 В — среднее измеренное значение напряжения U, Δ U = 0,05 В — погрешность измерения. Все это, разумеется, относится и к измеряемой силе тока I: I =Ī± Δ I; I =(100±5)мА, где I = 100 мА = 0,1 А — измеренная сила тока, Δ I = 5 мА = 5×10-3 А — погрешность измерения. Если длина отрезка проволоки измеряетсялинейкой с миллиметровой шкалой, то истинное значениедлины l проволоки лежит в интервале, например, (400,0 — 0,5) мм ≤ l ≤ (400,0 + 0,5) мм, т. е. ± Δ l = (400,0 ±5) мм. Диаметр d проволоки можно измерить штангенциркулем или микрометром. Если диаметр проволоки измерять штангенциркулем в различных местах, то, скорее всего, окажется, что результат везде одинаков. Штангенциркуль не «почувствует», что толщина проволоки неодинакова по всей ее длине. В этом случае точность измерения штангенциркулем, а это обычно 0,1 мм, и определяет погрешность измерения диаметра, т. е. Δd = 0,1 мм. Микрометр — более чувствительный и более точный прибор, чем штангенциркуль. Если измерить диаметр проволоки в различных местах микрометром, то можно получить серию результатов: d 1, d 2, d 3 ,.... dn, где d 1 — результат первого измерения, d2 - второго и т. д. В этом случае погрешность определяется уже и характером самой величины d. Диаметр проволоки есть случайная величина, она варьирует около некоторого среднего значения (22) где п — число измерений. Для грубой оценки Δd выберем из п измерений максимальное значение dmax и минимальное dmin. Тогда грубая оценка погрешности (23) [при обработке результатов измерений следует пользоваться соотношениями (6) и (7) ]. Истинное значение диаметра лежит в интервале или
Пусть, например, = 0,5 мм, a Δd = 0,01 мм. Тогда результат измерений d= = (0,50±0,01) мм. При расчетах в формулу (21) мы подставляли средние значения величин, хотя в действительности каждая из них определена с не которой погрешностью ' , , , . С учетом этого формулу (21) можно записать в виде (24) Если в числителе выражения (24) все величины взять со знаком «+», а в знаменателе — со знаком «—», то мы получим максимальное значение ρmax.Наоборот, если в числителе (24) все величины взять со знаком «—», а в знаменателе — со знаком «+», то получится минимальное значение ρmin. Это означает, что истинное значение ρ находится между ρmin и ρmах, т. е. в интервале . Число ρ = 4.908738 • 10-6 Ом×м, которое мы вычислили, лишь одно из чисел этого интервала. Естественно, что оно ничем не лучше любого другого числа из этого интервала. Представим ρ в виде ρ = ± Δρ, где — среднее значение ρ. Δρ — погрешность измерения. Преобразуем формулу (24): (25) где —среднее значение удельного сопротивления ; относительные погрешности измерения соответствующих величин. При любых «нормальных» измерениях относительные погрешности малы. Так, в нашем примере U = 1 В, ΔU/U = 5× 10-2, =40 см., Δ l = 0,05_см, / Δ l = 1×10-3, Ī = 100 мА., ΔI= 5 мА, Ī / ΔI = 5× 10-2, = 0,5 мм., Δd = 0,01 мм, / Δd= 2× 10-2. Это позволяет использовать хорошо известную из математики приближенную формулу если х << 1. Тем, кто сомневается в ее справедливости, рекомендуется «проверить» эту формулу на микрокалькуляторе. Для этого считайте, что a=2, и убедитесь, что (1 + х)2 = 1 + 2х, если х <<1. Посмотрите, для каких х левая часть отличается от правой. Лучше всего вычислить отношение (1 + x)2/ ( 1+ 2 х), например, для х =5×10-2, 2×10-2, 1×10-3. Точно так же положите a = —1 и убедитесь, что (1+ x)-1= Легко установить, что , , Таким образом [см. (25)], ρ= Чтобы не загромождать формулы плюсами и минусами, будем считать, ΔU, ΔI, Δd, Δ l принимают и положительное, и отрицательное значения, когда (26)
Пренебрегая в (26) квадратичными членами типа , которые возникают при перемножении, находим
Откуда, наконец, приходим к искомому результату:
где Δρ =ρ — , очевидно, абсолютная погрешность измерения ρ, а отношение — его относительная погрешность. Это результат можно получить и из соотношения (15). Таким образом, (27)
т. е. относительная погрешность измерения р очень просто связан с относительными погрешностями измерения соответствующих величин U, I, l, d.. В рассматриваемом примере нам известны относительные погрешности всех величин, входящих в формулу (21); =5×10-2, =5×10-2, = 1×10-3, =2×10-3. Видно, что наибольший вклад вносят погрешности измерения U, 1 и d, поэтому относительная погрешность измерения оказывается равной 1,03×l0-1, а абсолютная погрешность Δρ=1,03×l0-1 . Значение ρ мы уже вычисляли по формуле (21) и получили, что ρ = 4,9087384×10-6 Ом×м. Совершенно ясно, что в этом примере все цифры после цифры "девять" в числе ρ бессмысленны, поскольку Δρ = 1,03×10-1×5×10-6= 0,515×10-6 ≈0,5×10-6. Нужно взять = 4,9 х 10-6≈ 5×10-6 Ом×м и записать полученный результат следующим образом: ρ=(4,9±0,5) ×10-6 Ом×м. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.008 сек.) |