АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Приклад №1. розв'язати систему лінійних рівнянь методом Гаусса:

Читайте также:
  1. Використання функцій ДМАКС,ДМИН,ДСРЗНАЧ EXEL.Надати приклади.
  2. Використання функцій СУММ, БДСУММ, СУММЕСЛИ в Excel . Надати приклади.
  3. ВІСІМ ПРИКЛАДІВ, ЯК ЧОЛОВІК РАНИТЬ СВОЮ ДРУЖИНУ
  4. Возникновение и развитие прикладной конфликтологии.
  5. Дайте оцінку взаємодії генетичних факторів і факторів середовища в реалізації «вроджених форм поведінки».Наведіть приклади.
  6. Живопись, декоративно – прикладное искусство
  7. З дисципліни « Методологічне забезпечення прикладного психологічного дослідження.»
  8. Задачи для практических занятий по освоению прикладного программного обеспечения Adobe Photoshop
  9. Задачи для практических занятий по освоению прикладного программного обеспечения Macromedia Flash
  10. Задачи для практических занятий по освоению прикладного программного обеспечения Microsoft Excel
  11. Задачи для практических занятий по освоению прикладного программного обеспечения Microsoft PowerPoint
  12. Задачи для практических занятий по освоению прикладного программного обеспечения Microsoft Visio

розв'язати систему лінійних рівнянь методом Гаусса:

Розв'язання.

Складемо розширену матрицю із коефіцієнтів та вільних членів відповідних рівнянь. Матриця, яка складається тільки з коефіцієнтів відповідних рівнянь, називається матрицею системи А

За допомогою елементарних перетворень зведемо матрицю до ступінчастого вигляду. Спочатку зробимо такі перетворення: від другого і третього рядків віднімемо потроєний перший рядок, від четвертого рядка віднімемо в п'ять разів збільшений перший рядок, дістанемо:

Поміняємо другий і третій рядок місцями:

Перший і другий рядок залишимо без зміни, а від третього та четвертого рядка віднімемо подвоєний другий; дістанемо:

Скоротимо четвертий рядок на 2 і викреслимо третій рядок.

Матриця А зведена до ступінчатого вигляду А1. Одночасно і матриця А зведена до ступінчатого вигляду А1. Оскільки в ступінчатих матрицях А1 і А1 є по три рядки, то Rang A1=Rang A1. Отже, ця система сумісна (це випливає з критерію сумісності). Оскільки спільний ранг дорівнює трьом, а невідомих у системі п'ять, то система має безліч розв'язків, тобто вона невизначена. Матриці А1 відповідає ступінчата система рівнянь, яка рівносильна даній системі:

Оскільки лінійно залежних рівнянь три, а невідомих п'ять, то два невідомих тут можуть набувати будь-яких числових значень (вільні невідомі). Невідомі x1, x2, x4 – головні, так як з них починаються рівняння, а x3 та x5 – вільні невідомі.

З останнього рівняння маємо: x4=(4+x5)/6

Вираз для x4 підставимо в друге рівняння і виразимо x2 через вільні невідомі:

4x2+7x3+3(4+x5)/6+11x5=4

8x2+14x3+4+x5+22x5=8

8x2=4-14x3-23x5

x2=(4-14x3-23x5)/8

Підставимо тепер значення x2 та x4 у перше рівняння системи і знайдемо вираз x1 через вільні невідомі: x1–3(4–14x3–23x5)–3x3–2(4+x5)/6–5x5=–2.

Після спрощення маємо:

x1=(20–54x3–79x5)/24.

Остаточно, загальний розв'язок системи має такий вигляд:

x1=(20–54x3–79x5)/24,

x2=(4–14x3–23x5)/8,

x4=(4+x5)/6.

Щоб дістати частинний розв'язок, треба вільним невідомим надати конкретних числових значень.

Наприклад, поклавши: x3=0, x5=–4, матимемо:

x1=14; x2=12; x3=0; x4=0; x5=–4.

Приклад №2.

Знайти загальний розв'язок і фундаментальну систему розв'язків системи лінійних однорідних рівнянь:

Розв'язання.

Перетворимо розширену матрицю цієї системи за методом Гаусса

Перший і третій рядки залишимо без зміни, а від другого рядка віднімемо потроєний перший рядок, від четвертого рядка віднімемо в п'ять разів збільшений перший рядок.

Перший і другий рядки залишимо без зміни, а до третього рядка додамо другий рядок, від четвертого рядка віднімемо другий рядок.

Ранг матриці А=2<5

Скористаємося теоремою: Якщо ранг R матриці із коефіцієнтів системи лінійних однорідних рівнянь менше кількості невідомих n, то фундаментальна система розв'язків даної системи складається із n-R розв'язків.

Остання матриця є ступінчато-трапецієвидною, їй відповідає система:

Основними невідомими вважаємо x1 і x2, а вільними – x3, x4, x5. З другого рівняння знаходимо

x2=–2x3–2x4–6x5

Підставляючи це значення x2 в перше рівняння, маємо

x1=x3+x4+5x5

Отже, загальний розв'язок даної системи має вигляд:

Щоб дістати з загального розв'язку фундаментальну систему розв'язків, візьмемо послідовно: x3=1, x4=0, x5=0;

x3=0, x4=1, x5=0;

x3=0, x4=0, x5=1;

Тоді фундаментальною системою розв'язків даної системи є такі розв'язки:

c1=(1, –2, 1, 0, 0),

c2=(1, –2, 0, 1, 0),

c3=(5, –6, 0, 0, 1).

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)