Спектральная плотность прямоугольного импульсного сигнала

Воспользуемся прямоугольным импульсным сигналом, представленным в п.1.5.

Рис. 4.1. Прямоугольный импульс

Для нахождения спектральной плотности импульсных сигналов, представляемых отрезками прямых будем использовать прием, заключающийся в дифференцировании исходного сигнала необходимое число раз, чтобы он предстал в виде нескольких δ – функций.

Функция, представляющая прямоугольный импульс, имеет изолированные разрывы первого рода в точках t = 0 и t = t_И. Производная в этих точках, при использовании обобщенных функций, будет равна произведению δ – функции на величину скачка функции в точке разрыва. В нашем случае математическая модель сигнала после первого дифференцирования будет такова

Спектральная плотность производной , в соответствии со свойствами линейности и сдвига во времени и (4.21), равна

Используя связь между спектрами сигналов и их производными (4.19) находим

(4.23)

Отсюда находим модуль спектральной функции (амплитудно-частотный спектр)

(4.24)

и ее аргумент (фазо-частотный спектр)

(4.25)

Заметим, что, как и ожидалось, спектральная плотность на нулевой частоте равна площади «прямоугольника сигнала» .

Аргумент комплексной спектральной функции определяется суммой двух составляющих, где учитывает изменение знака функции . Из соотношения Эйлера следует тот факт, что если комплекснозначная функция представлена только вещественной составляющей, то изменение знака функции означает скачкообразное изменение ее аргумента на величину .

Модуль и аргумент спектральной функции прямоугольного импульса показаны на рис.4.2.

Если анализируемый импульс сдвинуть влево на половину длительности импульса, чтобы он располагался симметрично оси ординат, то в соответствии со свойством(4.17), определяющим сдвиг во времени можем записать

(4.26)

Отсюда модуль спектральной функции (амплитудно – частотный спектр)

(4.27)

и ее аргумент (фазочастотный спектр)

4.28)

Модуль и аргумент спектральной функции прямоугольного импульса, расположенного симметрично оси ординат, показаны на рис.4.3.

Нули спектральной функции прямоугольного импульса определяются соотношением

(4.29)

Эта формула свидетельствует о том, что с уменьшением длительности импульса происходит увеличение реальной ширины спектра.

Под шириной спектра здесь и в дальнейшем будем понимать частотный интервал, в пределах которого модуль спектральной плотности не меньше некоторого наперед заданного уровня, например 0.1 S_MAX.

Рис. 4.2. Модуль и аргумент спектральной плотности прямоугольного импульса, показанного на рис. 4.1.

Поиск по сайту: