АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Задачи, приводящие к понятию производной

Читайте также:
  1. V2: Предмет, задачи, метод патофизиологии. Общая нозология.
  2. А) Задачи, принципы и основные мероприятия санитарно-противоэпидемического обеспечения в чрезвычайных ситуациях.
  3. АТТЕСТАЦИЯ РАБОТНИКОВ: СУЩНОСТЬ, ЦЕЛИ, ЗАДАЧИ, НАЗНАЧЕНИЕ, МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ.
  4. Аттестация: цели, задачи, принципы, функции, процедуры и методы
  5. Вопрос 5. Экологический мониторинг окружающей среды, его цели и задачи, уровни мониторинга.
  6. Вычисление первой и второй производной
  7. Геометрический и механический смыслы производной
  8. Геометрический смысл производной
  9. Геометрический смысл производной
  10. Геометрический смысл производной и уравнение касательной
  11. Геометрический смысл производной.
  12. Геометрический, физический и экономический смысл производной функции.

Методическая разработка

для студентов лечебного, педиатрического, стоматологического

и медико-профилактического факультетов

к лабораторной работе

«Основные понятия математического анализа»

 

 

1. Научно-методическое обоснование темы:

Понятия производной и дифференциала являются одними из основных понятий математического анализа. Вычисление производных необходимо при решении многих задач в физике и математике (нахождение скорости, ускорения, давления и т. д.). Важность понятия производной, в частности, определяется тем, что производная функции характеризует скорость изменения этой функции при изменении ее аргумента.

Применение дифференциала позволяет осуществить приближенные вычисления, а также проводить оценку погрешностей.

Способы нахождения производных и дифференциалов функций и их применение составляют основную задачу дифференциального исчисления. Необходимость понятия производной возникает в связи с постановкой задачи о вычислении скорости движения и нахождении угла касательной к кривой. Возможна и обратная задача: по скорости определить пройденный путь, а по тангенсу угла наклона касательной найти соответствующую функцию. Такая обратная задача приводит к понятию неопределенного интеграла.

Понятие определенного интеграла используют в ряде практических задач, в частности в задачах по вычислению площадей плоских фигур, расчету работы, производимой переменной силой, нахождению среднего значения функции.

При математическом описании различных физических, химических, биологических процессов и явлений часто используют уравнения, содержащие не только изучаемые величины, но и их производные различных порядков от этих величин. Например, в соответствии с простейшей версией закона размножения бактерий, скорость размножения пропорциональна количеству бактерий в данный момент времени. Если это количество обозначить через N(t), то в соответствии с физическим смыслом производной скорость размножения бактерий представляет собой производную N(t), и на основании упомянутого закона можно записать соотношение N'(t)=к∙N, где к>0 - коэффициент пропорциональности. Полученное уравнение не является алгебраическим, так как содержит не только неизвестную функцию N(t), но и ее производную первого порядка.

 

2. Краткая теория:

Задачи, приводящие к понятию производной

1. Задача о нахождении скорости v материальной точки. Пусть некоторая материальная точка совершает прямолинейное движение. В момент времени t1 точка находится в положении М1. В момент времени t2 в положении М2. Обозначим промежуток М1, М2 через ΔS; t2 – t1 =Δt. Величина называется средней скоростью движения. Чтобы найти мгновенную скорость точки в положении М1 необходимо Δt устремить к нулю. Математически это значит, что

 

, (1)

 

Таким образом, для нахождения мгновенной скорости материальной точки необходимо вычислить предел отношения приращения функции ΔS к приращению аргумента Δt при условии, что Δt→0.

 

2. Задача о нахождении угла наклона касательной к графику функции.

 

Рис.1

 

Рассмотрим график некоторой функции у=f(х). Чему равен угол наклона касательной, проведенной в точке М1? В точке М1 проведем касательную к графику функции. На графике выберем произвольную точку М2 и проведем секущую. Она наклонена к оси ОХ под углом α1. Рассмотрим ΔМ1М2А:

 

, (2)

 

Если точку М1 фиксировать, а точку М2 приближать к М1, то секущая М1М2 будет переходить в касательную к графику функции в точке М1 и можно записать:

 

, (3)

 

Таким образом, необходимо вычислить предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю.

Предел отношения приращения Δy функции у=f(х) к приращению аргумента Δx в заданной точке х0 при стремлении Δx к нулю, называется производной функции в заданной точке.

Обозначения производной: у', f '(х), . По определению

 

, (4)

 

где Δx=х21 – приращение аргумента (разность между двумя последующими достаточно близкими значениями аргумента), Δy=у21 – приращение функции (разность между значениями функции, соответствующими этим значениям аргумента).

Нахождение производной данной функции называется ее дифференцированием. Дифференцирование основных элементарных функций производится по готовым формулам (см. табл.), а также с помощью правил:

 

1. Производная алгебраической суммы функций равна сумме производных этих функций:

 

(u+υ)'= u' +υ'

 

2. Производная произведения двух функций равна сумме произведений второй функции на производную первой и первой функции на производную второй:

 

(u∙ υ)'= u' υ + u υ'

 

 

3. Производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность между произведениями знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель- квадрат знаменателя:

 

Физический смысл производной. Из сравнения (4) и (1) следует, что мгновенная скорость прямолинейного движения материальной точки равна производной зависимости ее координаты от времени.

Общий смысл производной функции заключается в том, что она характеризует скорость (быстроту) изменения функции при данном изменении аргумента. Быстрота протекания физических, химических и других процессов, например скорость охлаждения тела, скорость химической реакции, скорость размножения бактерий и т.п., также выражается при помощи производной.

Геометрический смысл производной. Величину тангенса угла наклона касательной, проведенной к графику функции, в математике называют угловым коэффициентом касательной.

Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику дифференцируемой функции в некоторой точке, численно равен производной функции в данной точке.

Это утверждение называют геометрическим смыслом производной.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)