Типовые практические задания

По учебной дисциплине ЕН 01 «Математика»

Специальность 090305 Информационная безопасность автоматизированных систем,

программа базовой подготовки

Семестр 3

Формы контроля: тестирование, письменное решение задач, устный опрос

Последовательность и условия выполнения задания:

1. Тестирование.

2. Решение задач из экзаменационного билета.

3. Устный опрос на знание основных формул и определений.

Вы можете воспользоваться: - калькулятором (но не телефоном!)

Максимальное время выполнения задания – 20 минут тестирование и 30 минут решение задач.

Теоретические вопросы

1. Матрицы. Действия над матрицами (сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число, транспонирование матрицы, умножение матриц).

2. Виды матриц. Алгоритм составления обратной матрицы.

3. Определитель матрицы. Правило треугольников.

4. Системы линейных уравнений. Матричный метод.

5. Системы линейных уравнений. Метод Крамера.

6. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса.

7. Высказывания. Конъюнкция высказываний. Таблица истинности конъюнкции.

8. Высказывания. Дизъюнкция высказываний. Таблица истинности дизъюнкции.

9. Высказывания. Строгая дизъюнкция высказываний. Таблица истинности строгой дизъюнкции.

10. Высказывания. Импликация высказываний. Таблица истинности импликации.

11. Высказывания. Эквиваленция высказываний. Таблица истинности эквиваленции.

12. Высказывания. Отрицание высказываний. Таблица истинности высказывания.

13. Законы алгебры логики.

14. Предикаты и кванторы.

15. Понятие множества, пустого множества, универсума.

16. Графическое изображение множеств (диаграммы Эйлера-Венна).

17. Способы задания множеств.

18. Операции над множествами (объединение, пересечение, дополнение, разность, симметрическая разность) и их связь с логическими операциями.

19. Комбинаторика. Правила комбинаторики.

20. Сочетания. Число сочетаний без повторения элементов.

21. Размещения. Число размещений без повторения элементов.

22. Перестановки. Число перестановок с повторениями элементов и без повторения элементов.

23. События. Их виды.

24. Операции над событиями.

25. Классическое определение вероятности.

26. Теоремы сложения вероятностей и следствия из них.

27. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей и следствия из них.

28. Повторение испытаний. Формула Бернулли.

29. Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины.

30. Числовые характеристики дискретной случайной величины (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение).

Типовые практические задания

1. Решить систему методом Крамера .

2. Решить систему матричным методом .

3. Решить систему уравнений методом Гаусса:

, .

4. Найдите определитель матрицы , если .

5. Найти матрицу, обратную матрице .

6. Вычислить .

7. Вычислить B ^-1 -2C ^Т, если, , .

8. Выберите высказывания, которые является истинными, если высказывание P-истинно, а высказывание Q -ложно?

PÙQ, PÚQ, P®Q, P«Q.

9. Выберите высказывания, которые является истинными, если высказывания P и Q ложны?

P Q, PÚQ, Q®P, P«Q.

10. Выберите высказывания, которые является истинными, если высказывания P и Q истинны?

PÙQ, PÚQ, Q®P, P Q.

11. Составьте таблицу истинности высказывания .

12. Составьте таблицу истинности высказывания .

13. Составьте таблицу истинности высказывания .

14. Пусть Р(х) — предикат: «х — делится на два». Выразите словами высказывания $ х Р(х), " х Р(х).

15. Определить, истинными или ложными являются высказывания, построенные из предикатов:

a) ,

b) ,

c) ,

d) ,

e) ,

где

P(x): x – отрицательное число,

Q(x, y): x > y,

R(x, y): студент x изучает дисциплину y.

16. Q(x, y): студент x учится в колледже y. Запишите на естественном языке высказывания и определите их истинность:

a) ,

b) ,

c) ,

d) ,

e) ,

f) .

17. По каналу связи передаются 3 сообщения, каждое из которых может быть правильно принято, независимо от других. Запишите с помощью формул алгебры логики высказывания:

a) «все сообщения будут искажены»;

b) «будет искажено только первое сообщение»;

c) «одно сообщение будет искажено»;

d) «хотя бы одно сообщение будет искажено».

18. Участок электрической цепи состоит из четырех элементов, каждый из которых работает независимо от других. Запишите с помощью формулы алгебры логики высказывание «Участок цепи работает безотказно», если

-первый элемент вышел из строя;

-первый элемент вышел из строя;

-первый элемент вышел из строя;

-первый элемент вышел из строя.

19. Участок электрической цепи состоит из четырех элементов, каждый из которых работает независимо от других. Запишите с помощью формулы алгебры логики высказывание «Участок цепи вышел из строя», если

-первый элемент вышел из строя;

-первый элемент вышел из строя;

-первый элемент вышел из строя;

-первый элемент вышел из строя.

20. Упростить с помощью законов логики. Сделать проверку с помощью таблиц истинности.

21. Упростить с помощью законов логики. Сделать проверку с помощью таблиц истинности.

22. Упростить с помощью законов логики. Сделать проверку с помощью таблиц истинности.

23. Даны два множества A = {§, ©, ª}, B = {©, ¨, ·}. Что представляет собой множества А \ В, А È В, А Ç В, В \ А, ВΔА?

24. Найдите (B È А)\ C, A Ç (B \ C), (C Ç А)È B, если , , .

25. Три множества A, В и С изображены кругами Эйлера. Запишите множество, которое соответствует закрашенной области:

a) b)

26. Изобразите множества кругами Эйлера:

a) , если , , ;

b) , если , , ;

c) , если , , .

24. Из студенческой группы, в которой 10 студентов и 12 студенток, для анкетирования произвольным образом отбирают 5 человек. Найдите вероятность того, что среди них будет три студентки.

25. Среди сорока фотографий есть пять фотографий знаменитых артистов. Какова вероятность того, что среди взятых наугад четырех фотографий, фотографий артистов будет не меньше трех?

26. Собрание, состоящее из тридцати человек, среди которых восемь женщин, выбирает случайным образом делегацию из трех человек. Найдите вероятность того, что в делегацию войдет хотя бы одна женщина.

27. Буквы слова ВЕРОЯТНОСТЬ выписаны на карточках. Наудачу вынимают одну карточку за другой и укладывают по порядку. Найдите вероятность того, что получится слово ТРОН.

28. Из колоды в 36 карт одну за другой выбирают 4 карты. Какова вероятность того, что первой картой будет дама, второй – король, третьей – снова дама, четвертой – шестерка.

29. Литье в болванках поступает из двух цехов: семьдесят процентов из первого цеха и тридцать из второго. При этом материал первого цеха имеет десять процентов брака, а второго – пять процентов. Взятая наугад болванка не имеет дефектов. Какова вероятность того, что она из второго цеха?

30. Студент знает 15 билетов из 20. Какова вероятность успешной сдачи им экзамена, если он идет отвечать вторым, а билеты после ответа студентов не используются далее на экзамене?

31. В мастерской работают десять станков. Для каждого станка вероятность выхода из строя в течении 100 часов равна 0,1. Найти вероятность того, что хотя бы один станок не выйдет из строя в течении 100 часов работы.

32. Вероятность "сбоя" в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,001. Поступило 10 вызовов. Определить вероятность 7 сбоев.

33. В мастерской работают пять станков. Для каждого станка вероятность выхода из строя равна 0,1. Найдите вероятность того, что из строя выйдет не более одного станка.

34. По каналу связи передаются 6 сообщений, каждое из которых, независимо от других может быть искажено с вероятностью 0,2. Найдите вероятность того, что правильно будут приняты четыре сообщения.

35. Участок электрической цепи состоит из четырех элементов, каждый из которых работает независимо от других. Элементы не выходят из строя за определенный промежуток времени соответственно с вероятностями 90%, 80%, 70% и 60%. Найти вероятность выхода из строя всего участка.

36. Участок электрической цепи состоит из четырех элементов, каждый из которых работает независимо от других. Элементы не выходят из строя за определенный промежуток времени соответственно с вероятностями 85%, 80%, 80% и 75%. Найти вероятность безотказной работы всего участка.

37. В мастерской имеются три станка. Они требуют наладки в течение смены с вероятностями 0,05; 0,1; 0,3 соответственно. Какова вероятность того, что в течение смены два станка не потребуют наладки?

38. Дан закон распределения дискретной случайной величины. Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.

39. В ящике лежат пять черных и пять красных мячей. Вынимают наугад три мяча. Найдите среднее значение и среднее квадратическое отклонение числа извлеченных черных мячей.

40. Имеются пять лампочек, каждая из них с вероятностью 0,2 имеет дефект. Лампочка ввинчивается в патрон и включается ток. При включении тока дефектная лампочка сразу же перегорает, после чего заменяется другой. В противном случае испытания прекращаются. Найти математическое ожидание и дисперсию числа испробованных лампочек.

41. Электронная аппаратура имеет три параллельные дублирующие линии. Вероятность выхода из строя каждой линии за время гарантийного срока работы аппаратуры в целом равна 0,1. Найти закон распределения и математическое ожидание случайного числа линий, вышедших из строя.

42. В некотором доме двадцать три семьи не имеют автомобиля, двадцать семей имеют по одному автомобилю, пять – по два автомобиля и две семьи имеют по три автомобиля. Найдите среднее значение и среднее квадратическое отклонение числа автомобилей, имеющихся в одной семье.

Поиск по сайту: