АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Построение базисов в конкретных линейных пространствах

Читайте также:
  1. B. Зависимость отдельных актов удовлетворения потребности от конкретных благ (объективный момент)
  2. I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА
  3. MathCad: построение, редактирование и форматирование графиков в декартовой системе координат.
  4. V. Построение одного тренировочного занятия
  5. V2: ДЕ 55 - Решение линейных неоднородных уравнений со специальной правой частью
  6. Алгоритм решения систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса
  7. Анализ случаев нарушения безопасности движения с установлением виновных и конкретных нарушений правил и порядка работы
  8. Б1 1.Системы линейных алгебраических уравнений (СЛУ). Теорема Кроникера-Капелли. Общее решение СЛУ.
  9. Билет 2. Изоморфизм линейных пространств.
  10. Билет25 Классификация систем линейных уравнений по числу решений, ступенчатый вид расширенной матрицы системы в каждом случаи.
  11. ВЕКТОРЫ ЛИНЕЙНЫХ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ТЕЛА ПРИ ВРАЩЕНИИ
  12. Вопрос 2. Построение доверительного интервала при неизвестном законе генерального распределения.

L=V3 – пр-во геометрических векторов.

Утверждение. Базис в L образует любая система из трёх некомпланарных векторов.

Размерность L равна 3.

Док-во. Пусть S={a,b,c} некомпланарные векторы, что S линейно независима. Покажем, что S полна в L= V3, т.е. "вÎ V3 есть разложение по системе S: d=aa+bb+gc. Запишем векторы a, b, c, d через координаты в базисе {i,j,k}. a=(ax,ay,az), b=(bx,by,bz), c=(cx,cy,cz), d=(dx,dy,dz).

D<>0, т.к. векторы a, b, c не компланарны.

Система с не нулевым определителем имеет единственное решение, значит разложение существует.

Следствие. В пр-ве V3 любая система из 4 и более векторов линейно зависима.

L=Rn – арифметическое n-мерное пространство.

Утверждение. dim Rn =n; пример базиса в Rn даёт система S={e1,e2,…,en}, где e1=(1,0,…,0), e2=(0,1,0,…,0)… en=(0,0,…,1) канонический базис в Rn.

Док-во. Докажем полноту. "x=(x1,x2,…,xn)ÎRn имеем равентсво x=x1e1+x2e2+…+xnen. Действительно x=(x1,0,…,0)+(0,x2,…,0)+…+(0,0,…,xn)=x1(1,0,…,0)+x2(0,1,0,…,0)+…+xn(0,0,…,1)=x1e1+x2e2+…+xnen. Пусть 0=a1e1+a2e2+…+anen. Покажем, что все коэффициенты нули a1=an=0. Действительно 0=(0,0,…,0)=a1(1,0,…,0)+ a2(0,1,0,…,0)+…+an(0,0,…,1)=(a1,a2,…,an) => a1=a2=…= an=0. Вывод: S – линейно независима и полна, т.е. S – базис в Rn.

Следствие. Размерность Rn = n. В Rn любая система из m>=n+1 векторов линейно зависима.

L=Pn – пр-во многочленов степени не выше n.

L=Pn={p(t)=p0+p1t+…+pntn: pkÎR}

Утверждение. Размерность Pn=n+1, при этом пример базиса даёт система: S={1,t,…,tn}.

Док-во. "p(t)ÎPn имеем p(t)=p0+p1t+…+pntn – разложение по системе S с коэффициентами p0, p1,…, pn. "pÎPn имеем p(t)=p0e0(t)+p1e1(t)+…+pnen(t) разложение по системе S. Линейная независимость. Если a0e0(t)+a1e1(t) +…+anen(t)=0, т.е. a0+a1t+…+antn º 0, то покажем, что a0=a=…=an=0. Дифференцируем это множество n раз. Получаем a0=a1=…=an=0.

Пусть L – линейное пространство, МÌL, М – подпространство. Тогда само М является линейным пространством. Обозначим n=dimL, m=dimM.

Теорема. Размерность подпространства не выше размерности пространства. m<=n. Если m=n, то подпространство совпадает со всем пространством. Если m<n, то базис подпространства М можно достроить до базиса всего пространства L.

Док-во. Sm={e1,e2,…,em} – базисв М. Тогда Sm – линейно не зависимая система векторов из L и число векторов в Sm не больше, чем размерность L=n, т.е. m<=n. Пусть m=n, тогда базис Sm подпространства М будет линейно независимой системой векторов в L с числом векторов равным n=dimL, значит такая система образует базис в L, т.е. Sm базис в М и L. Следовательно, её линейная оболочка L(Sm)=L, т.к. Sm базис в L. Значит, в М=L. Пусть m<n, тогда базис Sn подпространства М будет линейно независимой системой векторов в L, но не базисом, значит Sm не полна в L, т.е. существует вектор em+1ÎL\L(sm). Добавим этот вектор в систему. Sm+1={e1,…,em,em+1}. Эта система линейно независима. Если m+1=n, то Sm+1, базис в L. Если m+a<n, то Sm+1 не полна в L и можно найти вектор em+2ÎL, em+2ÎL(Sm+1). Добавив его получим систему Sm+2={e1,…,em,em+1,em+2} (линейно независима). Если m+2=n, то Sm+2 базис в L. Продолжая построение в результате получим систему Sn линейно независимую, она и есть базис в L.

Рангом r(S) системы векторов S называется размерность её линейной оболочки: r(S)=dimL(S).

Базой (максимальной линейно независимой подсистемой) системы S называется её подсистема S` со свойствами:

1) S` - линейно независима;

2) все векторы из S линейно выражаются через векторы из S`.

Замечание. Если система S линейно независима, то она сама является своей базой.

Теорема. База системы векторов образует базис в её линейной оболочке.

Док-во. Пусть S – система векторов, S` - её база. Тогда S` линейно независима, любой вектор из L(S) линейно выражается через векторы из S, а они в свою очередь линейно выражаются через векторы системы S`. В итоге любой вектор xÎL(S) линено выражается через векторы из S`. Это означает, что S` полна в L(S), следовательно S` - базис в L(S).

Следствие. Все базы содержат одинаковое число векторов, равное рангу системы.

Следствие. Если S` линейно независимая подсистема системы S и число векторов в S` равно рангу S, то S` - база системы.

Замечание. Если система линейно независима, то размерность её линейной оболочки (её ранг) равен числу векторов в ней, т.к. она сама является своей базой.

Пусть L – линейное пространство, S={e1,…,ek}, S1={f1,…,fm} – системы векторов из L.

Теорема. Если все векторы из S1 линейно выражаются через векторы из S, то ранг системы S1 не больше, чем ранг S (r(S1)<=r(S)).

Док-во. Покажем, что L(S1)ÌL(S). Для "xÎL(S1) есть линейное выражение этого вектора через векторы из S1. Но они линейно выражаются через векторы из S. В итоге получаем линейное выражение вектора xÎL(S1) через векторы из S, т.е. xÎL(S). Доказали, что если xÎL(S1), то xÎL(S). L(S) – линейное пространство, L(S1) – подпространство => dimL(s1)<=dimL(S), r(S1)<=r(S).

Элементарными преобразованиями системы векторов преобразования вида:

1) перестановка двух векторов в системе;

2) умножение одного из векторов системы на число не равное нулю;

3) добавление к одному из векторов другого с некоторым коэффициентом.

Замечание. Если одна система получена из другой с помощью элементарных преобразований, то и та в свою очередь получается из новой с помощью обратных элементарных преобразований.

Теорема. Если одна система получена из другой с помощью элементарных преобразований, то их ранг одинаков.

Док-во. Если S1 получена из S элементарными преобразованиями, то векторы из S1 линейно выражаются через векторы из S. r(S1)<=r(S). В свою очередь векторы из S выражаются через векторы из S1 с помощью обратных элементарных преобразований, значит r(S)<=r(S1). Значит r(S)=r(S1).

Замечание. При элементарных преобразованиях база системы может исчезнуть.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)