АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Основные сведения о матрицах

Читайте также:
  1. B. Основные принципы исследования истории этических учений
  2. I. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
  3. I. Общие сведения
  4. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ (ТЕРМИНЫ) ЭКОЛОГИИ. ЕЕ СИСТЕМНОСТЬ
  5. I. ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ ПЕРЕДВИЖЕНИЯ И ПРЕОДОЛЕНИЯ ПРЕПЯТСТВИЙ
  6. I.3. Основные этапы исторического развития римского права
  7. II Съезд Советов, его основные решения. Первые шаги новой государственной власти в России (октябрь 1917 - первая половина 1918 гг.)
  8. II. ИСЧИСЛЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО–МАЛЫХ И ЕГО ОСНОВНЫЕ КАТЕГОРИИ
  9. II. Основные задачи и функции
  10. II. Основные задачи и функции
  11. II. Основные показатели деятельности лечебно-профилактических учреждений
  12. II. Основные проблемы, вызовы и риски. SWOT-анализ Республики Карелия

· Квадратной матрицей размера называется совокупность чисел, расположенных в виде квадратной таблицы, содержащей строк и столбцов.

 

.

 

 

· Главная диагональ – это часть матрицы, состоящая из элементов .

 

· Побочная диагональ – это часть матрицы, состоящая из элементов .

 

· Квадратная матрица называется диагональной, если при .

 

.

 

· Верхняя треугольная матрица – все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю.

 

.

 

· Нижняя треугольная матрица – все элементы, расположенные выше главной диагонали, равны нулю.

 

.

 

· Трехдиагональная матрица – матрица, у которой все ненулевые элементы располагаются на трех диагоналях: главной, первой сверху и первой снизу.

 

.

 

· Ленточная – квадратная матрица, все ненулевые элементы которой примыкают к главной диагонали.

 

.

 

· Единичная матрица – эта матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а остальные элементы равны нулю.

 

.

 

· Расширенная матрица – это матрица, полученная «склеиванием» двух матриц, как правило, для осуществления одних и тех же элементарных преобразований со строками сразу в двух матрицах. Например, для матриц , расширенная матрица будет выглядеть следующим образом:

 

.

 

· Суммой матриц A и B называется матрица C такая, что элемент .

 

· Матрица называется произведением матриц A и B, если элемент

 

. ( 1 )

 

Причем умножение матриц не является коммутативным, т.е. (за исключением умножения на единичную матрицу: ). Поэтому для будет справедлива формула:

 

. ( 2 )

 

Данные формулы (1) и (2) будут называться соответственно левостороннее и правостороннее произведение матриц.

 

· Вектор – это матрица, состоящая из одного столбца (вектор- столбец), т.е. . .

 

· При умножении матрицы A на вектор X мы получим некоторый вектор , элементы которого вычисляются по формуле: .

 

· Квадратные матрицы А и В одинакового порядка называются подобными, если существует невырожденная матрица P такого же порядка, такая что .

 

· Матрицей, обратной данной матрице A, называется матрица такая, что произведение A на равняется единичной матрице .

 

· Ортогональной называют такую квадратную матрицу A, для которой выполняется равенство .

 

· Невырожденной называют квадратную матрицу А, определитель которой не равен 0.

 

· Квадратная матрица называется симметрической, если для любых i, j, т.е. ее элементы расположены симметрично относительно главной диагонали.

 

· Транспонированная матрица – матрица , полученная из исходной матрицы А заменой строк на столбцы:

 

.

 

· Признаки положительной определенности матрицы

1. Критерий Сильвестра. Чтобы матрица А была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все ее главные миноры были положительны.

2. Достаточное условие. Диагональное преобладание, т.е. свойство влечет положительную определенность матрицы.

 

· Нормой вектора Х называется поставленное в соответствие этому вектору неотрицательное число , удовлетворяющее аксиомам:

1. Положительная определенность, т.е. для любого ненулевого вектора его норма больше нуля и равна нулю только для ноль вектора

2. Однородность

3.

Существует несколько способов введения нормы вектора. Наиболее употребительными являются следующие:

1) первая (кубическая) ;

2) вторая (октаэдрическая) ;

3) третья (сферическая) .

 

· Нормой матрицы А называется поставленное этой матрице в соответствие неотрицательное число такое, что

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Здесь Н – линейное пространство квадратных матриц n-го порядка.

Норма матрицы, как и норма вектора, может быть определена по-разному.

1) первая ;

2) вторая ;

3) , где L - наибольшее собственное значение матрицы .

 

· Если для любой матрицы А и любого вектора Х выполняется неравенство то говорят, что норма матрицы согласована с данной нормой вектора.

 

· Нормой матрицы А, подчиненной данной норме вектора, называется число - верхняя грань (т.е. максимальное число) множество норм такого вида.

 

· Собственным значением квадратной матрицы А n -го порядка

 

 

называется такое число λ, при котором для некоторого ненулевого вектора имеет место равенство

 

АХ= λХ.

Любой ненулевой вектор X, удовлетворяющий этому равенству, называется собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному значению λ.

 

· Матрица называется характеристической матрицей данной матрицы А.

 

· Уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А, а полином - характеристическим полиномом.

 

· Совокупность всех собственных значений λ1, λ2, …, λn матрицы А называется спектром этой матрицы.

 

· Спектральным радиусом r(А) матрицы А называется максимум из модулей собственных значений этой матрицы.

 

· Собственные значения треугольной матрицы равны ее диагональным элементам.

 

.


Приложение 2


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.009 сек.)