АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Билет 8. Векторное произведение, его геометрический смысл, выражение через координаты. Базис и размерность линейного пространства

Читайте также:
  1. III Общий порядок перемещения товаров через таможенную границу Таможенного союза
  2. III. Базисный минор.
  3. III. Векторное произведение векторов, заданных координатами
  4. IV. ФУНКЦИЯ И СОСЕДНИЕ КАТЕГОРИИ (ЧИСЛО КАК СУЖДЕНИЕ, УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ, ДОКАЗАТЕЛbСТВО И ВЫРАЖЕНИЕ)
  5. Root(Выражение, имя переменной)
  6. V2: ДЕ 11 - Векторные пространства. Линейные операции над векторами
  7. V2: ДЕ 14 – Векторные пространства. Коллинеарность векторов.
  8. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  9. VI. Выражение собственного мнения по проблеме исходного текста
  10. А) плечевой пояс проходит через грудную клетку; б) характерны анальные пузыри; в) зубы преобразовались в роговые пластины; г) уплощенные и широкие ребра.
  11. А. Стекание тока в землю через одиночные заземлители
  12. Аксиомы линейного пространства

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой если из конца 3его вектора кратчайший поворот от 1ого ко 2оу виден против часовой стрелки в противно случаи тройка называется левой.

Векторное произведение векторов ab называется вектор с=AxB, удовлетворяющий условиям 1

1) С перпендикулярен А; С перпендикулярен B

2) |c|=|a||b| sin(a^b)

3) A,b,c – правая тройка

Модуль векторного произведения есть площадь параллелограмма построенного на сомножителях

Векторное произведение направлено как головка буравчика который мы вращаем от 1 множителя ко 2ому

Свойства:

1) АхВ= -ВхА – анти коммутативность

2) (А+В)хС=АхС+ВхС(αА)хВ=α(АхВ)

АхВ= = i -j +k Условия коллинеарности 2 вектора коллинарны тогда и только тогда когда векторное произведение их равно 0
Базис и размерность линейного пространства

Базисом линейного пространства V называется система линейно независимых элементов, аксиальная по включению(при присоединении элемента л.н. исчезает)

Пусть е1…еn -,базис V x V { е1…еn,x}- линейно зависимая

α1…αn ,α – не все равные 0, такие что αх+α1е1+…+αnen=0

 

α1е1+…+αnen=0 не все х1,…, αn =0 =>e1,…,en- л.з. – противоречие => α≠0

αx= - α1e1-…-αnen x=- α1e1/α-…-αnen = = x=x1e1+…+xnen (1)

Выражение (1) называется разложением элемента х по базису е1….еn

Пусть система { е1….еn} – л.н. и для любого Х из V справедливо (1) тогда е1….еn образует базис. Х ó (X1,…, Xn)

Упорядоченная n кА чисел (X1,…, Xn) называется координатами элементов Х в базисе е1….еn

Множество упорядоченных n ок действительных чисел по компонентным сложениям и умножениям на действительное число образуют линейное пространство которое обозначается Rn .

Теорема: Пусть элементы b1…bs линейного пространства V есть линейные комбинации элементов a1….ak если s>k => то b1…bs – л.з.

b111a1+…+αk1ak

b212a1+…+αk2ak (2) Из коэффициентов равенства (2) составим матрицу: А=

bs1sa1+…+αksak

 

R(A)≤K K<S=> столбцы матрицы А линейно зависимы

 

β1…βs не все =0 β1 +….βs = (3)

β1b111a121a2+…+αk1ak

β2b212a1+ α22a2+…+αk2ak

βSbS1Sa1+ α2Sa2+…+αkSak

Из равенства (3) следует что линейная комбинация β1b1+…+ βSbS=0а1+...+0ак=0 => b1,…,bS –л.з Линейная комбинация длины К линейно независимых может быть не больше чем К

Теорема 2: В любом базисе конечномерного линейного пространства V содержится одинаковое количество элементов

Е1,…,еn – базис V; b1,…,bk- базис V; k< n Поскольку е1= α11b121b2+…+αk1bk en= α1nb12nb2+…+αknbk => Е1,…,еn –л.з.

Противоречие => k≥n => k=n

Размерность конечномерного пространства V называется число элементов в базисе этого пространства

Теорема: разложение по базису единственно

(1) X=X’1e1+…+X’nen = противное предположение

(1) Х = Х1е1+…+Хnen

(1)-(1’) 0=(X1-X’1)e1+…+(Xn-X’n)en => X1=X’1 Xn=X’n чтд

Хó(X1,…,Xn) Rn

Линейная оболочка элементов а1...ак

L(а1...ак) = {α1а1+…+αnan, α1….αn R}

Теорема: Линейная оболочка является пространством (подпространством)

L V L – подпространство ó 1) 2) a= α1а1+…+αkak b=β1a1+…+βkak

1)A+b= (α11)a1+…+ (αkk)ak L

2)αa= αα1a1+…+ααkak L


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)